Οι λέξεις έχουν τη δική τους ιστορία

Το ιστολόγιο του Νίκου Σαραντάκου, για τη γλώσσα, τη λογοτεχνία και… όλα τα άλλα

Παίζοντας με τους αριθμούς

Posted by sarant στο 21 Σεπτεμβρίου, 2011


Το άρθρο αυτό του πατέρα μου, του Δημήτρη Σαραντάκου, δημοσιεύτηκε χτες, 20.9.2011, στην εφημερίδα Εμπρός της Μυτιλήνης.

Στις 11 Σεπτεμβρίου παρακολούθησα στην τηλεόραση, και όχι σε κανένα σκουπιδοκάναλο, αλλά σε σοβαρό, υποτίθεται κανάλι, έναν τύπο, που, με περισπούδαστο ύφος αυθεντίας, μιλούσε με τις ώρες για τις μαγικές ιδιότητες του αριθμού 11. Μας πληροφόρησε λοιπόν πως το σχήμα και η διάταξη των δίδυμων πύργων παραπέμπει στο αριθμό 11. Ομοίως τα ονόματα: του τότε προέδρου των ΗΠΑ στα αγγλικά (George W. Bush), της Νέας Υόρκης (New York city), αλλά και του Αφγανιστάν (Afghanistan), της χώρας από την οποία εξόρμησαν οι τρομοκράτες, όλα περιέχουν 11 γράμματα. Εκτός αυτού, η πολιτεία της Νέας Υόρκης είναι η 11η πολιτεία που προσχώρησε στις νεογέννητες ΗΠΑ. Και αν δε φτάνουν όλα αυτά, ο αριθμός 11 υποκρύπτεται στην ημερομηνία της επίθεσης, αφού 1+1+9=11, αλλά, καθώς η 11η Σεπτεμβρίου είναι η 254η μέρα του χρόνου, και 2+5+4=11. Μας ανέφερε επίσης πως το πρώτο αεροπλάνο που έπεσε στους πύργους είχε αριθμό πτήσης 11!
Ανεξάρτητα από όλες αυτές τις μεγαλοπρεπείς ανοησίες, η ενασχόληση με τους αριθμούς, πέρα από την επιστημονική της σημασία, κρύβει πολλά θέλγητρα. Πολλοί θα γνωρίζουν τον Άλμπρεχτ Ντύρερ, ένα μεγάλο Γερμανό ζωγράφο και χαράκτης της Αναγέννησης, λίγοι όμως ξέρουν πως ήταν και διαπρεπής μαθηματικός και πολύ λιγότεροι πως είχε κατασκευάσει το «μαγικό τετράγωνο» που έχει το όνομά του. Πρόκειται για ένα τετράγωνο που υποδιαιρείται, δίκην σκακιέρας, σε τετραγωνίδια, όχι όμως 64, όπως η σκακιέρα, αλλά μόνο σε 16, καθένα από τα οποία περιέχει έναν αριθμό από το 1 ως το 16. Πού βρίσκεται η μαγεία του τετραγώνου; Στον αριθμό 34, γιατί όπως και αν αθροίσεις τους αριθμούς που περιέχουν τα τετραγωνίδια, κατά στήλες, κατά σειρές, διαγωνίως, των τεσσάρων γωνιακών τετραγωνιδίων ή των τεσσάρων τετραγωνιδίων του κέντρου και κατά τέσσερις άλλους συνδυασμούς, πάντοτε το άθροισμα είναι 34! Ο Ντύρερ ήταν πολύ περήφανος για το τετράγωνό του και διασκέδαζε παρακινώντας τους φίλους του να το εξηγήσουν.

Με τους αριθμούς μαγεύτηκαν οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι, που τους είχαν αποδώσει σχεδόν θεολογική σημασία, φτάνοντας στο σημείο να… δολοφονήσουν ένα μαθηματικό της Σχολής τους που ασχολήθηκε με τους άρρητους αριθμούς, γιατί η ύπαρξη τέτοιων αριθμών ανέτρεπε τις δοξασίες τους περί τελειότητας των αριθμών. Αντίθετα οι περισσότεροι αρχαίοι σοφοί χρησιμοποίησαν τους αριθμούς με τη λογική και με ορθολογισμό, γιατί εξ αρχής τούς είχαν συνδέσει με χειροπιαστές πραγματικότητες, όπως τα γεωμετρικά σχήματα, όπως ο Θαλής ο Μιλήσιος, που μέτρησε το ύψος των Πυραμίδων της Αιγύπτου μετρώντας τη σκιά που ρίχνανε και εφαρμόζοντας τις ιδιότητες των ομοίων τριγώνων.

Το μαγικό τετράγωνο του Ντύρερ

Ένας αριθμός που προκαλούσε από αρχαιοτάτων χρόνων τον φόβο και εξακολουθεί ως τις μέρες μας να τον αποστρέφεται η Εκκλησία, είναι ο αριθμός 666, ο οποίος στην Αποκάλυψη του Ιωάννη αντιπροσωπεύει το «όνομα του θηρίου». Εδώ που τα λέμε, αυτά τα τρία εξάρια έχουν κάτι το τρομακτικό, μόνο που στο ελληνικό κείμενο της Αποκάλυψης το «όνομα του θηρίου», εφόσον οι αραβικοί (ινδικοί για την ακρίβεια) αριθμοί δεν είχαν ακόμη διαδοθεί, γράφεται χξς΄ που δεν έχει τίποτα το τρομακτικό. Στην πραγματικότητα στο εβραϊκό κείμενο το όνομα του θηρίου γράφεται καθαρά και ξάστερα ΝΡΝ, δηλαδή Νέρων, που το 70 είχε καταπνίξει με μεγάλη σκληρότητα την επανάσταση των Ζηλωτών και είχε ισοπεδώσει τα Ιεροσόλυμα και οι Εβραίοι, με το δίκιο τους, τον θεωρούσαν θηρίο. Μόνο που οι μεταγενέστεροι έδωσαν στα γράμματα του εβραϊκού αλφαβήτου αριθμητική αξία και ο Νέρων χάθηκε και έμεινε μόνο το 666.
Τους αριθμούς λοιπόν μπορεί κανείς να τους χρησιμοποιήσει κατά το δοκούν, για να διατυπώσει μαθηματικά προβλήματα, για τέρψη και διασκέδαση, για εξαπάτηση και εκφοβισμό, όπως αυτόν τον καιρό κάνουν πολλοί υπουργοί της κυβέρνησής μας.

60 Σχόλια προς “Παίζοντας με τους αριθμούς”

  1. Ναι αλλα το τραγουδι κυλαει ομορφα γιατι ο καλλιτεχνης λεει, «six six six the number of the beast». Φανταζεστε τι θα γινοταν να καλουσαμε τον καλλιτεχνη να πει, » χ ψ ς’ the number of the beast»? Τρια καταγματα της ανω γναθου και δυο στραμπουληγματα γλωσσας θα ειχαμε.

  2. Για να κυριολεκτούμε, δεν υπάρχει «εβραϊκό κείμενο» της Αποκάλυψης, και τα γράμματα ΝΡΝ (ή τα αντίστοιχα εβραϊκά) δεν δίνουν άθροισμα 666 (αφού ν΄=50 και ρ΄=100). Αυτό που όντως ισχύει είναι ότι τα γράμματα των λέξεων «Νέρων Καίσαρ» (εβρ. נרון קסר , μεταγραφή που προϋποθέτει ότι ήδη διαβαζόταν «κέσαρ’, αλλιώς θα είχε άλλο ένα γράμμα) πράγματι δίνουν άθροισμα 666, και ότι αν γράψουμε λατινοπρεπώς Nero χωρίς το τελικό ν, τότε βγάζουμε 616, που φαίνεται ότι πράγματι απαντά ως εναλλακτική εκδοχή σε ορισμένα χειρόγραφα.

  3. Πίσω μου σ’ έχω χψς’ !!

  4. Και φυσικά δεν πρόλαβε ο Νέρων να καταπνίξει την εξέγερση των Ιουδαίων το 70 μ.Χ., αφού είχε ανατραπεί και σκοτωθεί δυο χρόνια νωρίτερα. Αλλά αν όντως εξαπέλυσε τον πρώτο διωγμό των Χριστιανών στη Ρώμη, δεν είναι περίεργο να υποκρύπτεται αυτός πίσω από το θηρίο.
    Παρά τις όποιες ιστορικές ανακρίβειες όμως, το νόημα του άρθρου, ότι δηλαδή η αριθμολογία είναι μια μεγάλη μπαρούφα, παραμένει. Γι’αυτό πολύ μου αρέσει το εξώφυλλο αυτού του βιβλίου!

  5. Γρηγόρης Κοτορτσινός said

    Δηλαδή, αν κατάλαβα καλά, ο Ντίρερ έφτιαξε το πρώτο σουντόκου! 🙂

  6. LandS said

    Όϊ φάουλ. Οι Αρχαίοι ημών δεν έλεγαν «χι ξι στίγμα τονούμενον» αλλά «ἑξακόσια ἑξήκοντα ἓξ» ή κάτι εκεί κοντά.

    Μη κοιτάς που εμείς λέμε «έξι-έξι-έξι» αντί για 666 🙂

  7. Μπουκανιέρος said

    «όπως ο Θαλής ο Μιλήσιος, που μέτρησε το ύψος των Πυραμίδων της Αιγύπτου μετρώντας τη σκιά που ρίχνανε και εφαρμόζοντας τις ιδιότητες των ομοίων τριγώνων.»

    Η ιστορία αυτή αναφέρεται από το Διογένη το Λαέρτιο (τουλάχιστον) αλλά είναι απόκρυφη – και αυτό αποδεικνύεται (και) με την κοινή λογική.
    Είναι αδύνατον να μετρηθεί η σκιά (της κορυφής) της πυραμίδας απευθείας στο έδαφος (όπως π.χ. σ’ ένα κατακόρυφο οβελίσκο). Μπορούμε βέβαια να υπολογίσουμε αυτή τη (θεωρητική) σκιά, αν μετρήσουμε τις πλευρές της στο έδαφος και τις γωνίες. Αλλά τότε μπορούμε να υπολογίσουμε και το ύψος της, χωρίς ν’ ασχοληθούμε καθόλου με τη σκιά!

  8. Νέο kid στο block said

    Χι ψου σου ο αριθμός ξού ξού!
    Φτού σκόρδα στα μάτια σου άτιμο δου νου του

    Αχ, Νέρων να ‘μουν μια βραδιά και ας με λέγαν μπιστ
    Της σιδηράς παρθένου* να ‘μουνα κιθάρα του Στηβ Χάρις
    Και όχι ένας άσχετος και ταπεινός μπασίστ
    Κι ας έγραφε για με κακά, ακόμη και ο Χάρης!

    Να’ μουν γάτα των αριθμών Ραμάνουτζαν κι Ευκλείδης
    Να έσωνα τη χώρα μας σαν νέος ευπατρίδης
    Να χα κατσίκια κάνα δυο και μια αγελάδα
    Να έδιωχνα τον ολλανδό που στύβει την Ελλάδα

    *Iron Maiden

  9. sarant said

    Ευχαριστώ πολύ για τα πρώτα σχόλια!

    7: Ότι η ιστορία μπορεί να είναι απόκρυφη, καμιά αντίρρηση. Αλλά για το αν μπορείς να μετρήσεις το ύψος της πυραμίδας, δες τι λέει εδώ:
    http://en.wikipedia.org/wiki/Intercept_theorem

    Η γαλλική βερσιόν του ίδιου άρθρου είναι εκτενέστερη και βάζει κάποιες επιπλέον προϋποθέσεις.

  10. LandS said

    Μπορούμε να την μετρήσουμε από το μέσον της πλευράς που πέφτει και να προσθέσουμε το μισό μήκος της άλλης. Αν η γωνία που σχηματίζουν δεν είναι ορθή, τροποποιούμε την μέθοδο.

    Σύμφωνοι, το ύψος της πυραμίδας υπολογίζεται πιο απλά από τα μήκη των πλευρών και τις γωνίες,εφόσον οι ακμές (ε! ) δεν μας παίζουν παιχνίδια σαν τις πλευρές του Παρθενώνα. Έτσι η μέθοδος με τη σκιά χρειάζεται για επαλήθευση.

  11. LandS said

    #9.

    Είδες Νίκο τι παθαίνεις άμα βιάζεσαι; Γιατί να ανατρέξεις στην wikipedia αφού θα σχολίαζα εγώ 🙂 🙂 🙂

  12. Ωραίος ο πατήρ! Και πολύ ωραίος κι ο Νιοκίντ στο 8! 🙂

    Πάντως για όσους ενδιαφέρονται για πραγματικά επιστημονική αριθμολογία και όχι χαζομάρες, έχω γράψει σχετικά για τον σημαδιακό αριθμό του Έθνους μας, τον αριθμό 17! 😀

  13. Νέο kid στο block said

    Χμμμ, νομίζω ότι είμαι με το μέρος του Μπουκανιέρου. Το θεώρημα που παραθέτεις στο λινκ Νίκο (δε θυμάμαι πως λέγεται στα ελληνικά, φευ!) Strahlensatz το λένε οι γερμανοί (θεώρημα των ακτίνων (;))δεν είναι απλή υπόθεση, με την έννοια ότι δεν είναι μια –ας την πούμε- απλή ή προφανής περίπτωση ομοιότητας ,αλλά χρήζει απόδειξης.
    Οι γερμανοί αποδίδουν την πρώτη απόδειξη(μίας από τις υποπεριπτώσεις) στον Ευκλείδη (στα ‘Στοιχεία’) και αν δε κάνω λάθος υπάρχει και μια απόδειξη από τον Αρχιμήδη.
    Το ότι ο Θαλής δεν άφησε (ή δεν σώθηκε τουλάχιστον) γραπτό έργο και ότι η μόνη υποψία νύξης για το Strahlensatz γίνεται στον Πλούταρχο και όχι στους Διογένη Λαέρτιο και Πλίνιο που μιλούν απλά για μέτρηση από τον Θαλή σκιάς όταν αυτή είναι ιση με το ύψος (οπότε η μέθοδος ΔΕΝ μπορεί να μετρήσει το ύψος της Πυραμίδας) ,όπως και το λογικό κατ’εμενα ενδεχόμενο αν είχε κάποια απόδειξη ο Θαλής αυτή να μην γινόταν εύκολα δεκτή από το Αιγυπτιακό παπαδαριό, με κάνουν να πιστεύω ότι το πιθανότερο είναι να διαισθανόταν ο Θαλής (ως μεγάλος μαθηματικός) την αλήθεια του θεωρήματος αλλά μόνο έως εκεί, και τα υπόλοιπα να είναι θρύλος. Εγώ δηλαδή θα απέδιδα στον Ευκλείδη τη πρώτη ‘σωστή’ μέτρηση ύψους Πυραμίδας. 🙂

  14. sarant said

    8: Νεοκίντ ωραίο, αλλά ποιος είναι ο Ολλανδός;

    11: 🙂

    12: Ωραία ανάλυση, Στέλιο!

    Και μου θυμίσατε ένα εξαιρετικό ποίημα του Κορνήλιου, που το έγραψε όταν περίμενε να κάνει το σχόλιο αριθ. 666 σε ένα παλιό νήμα (για τη δασκάλα του Μεγαδέρειου) και τον πρόλαβε κάποιος άλλος. Αν και έχει αρκετές αναφορές στα προηγούμενα εξακόσια τόσα σχόλια, νομίζω ότι αξίζει κι έτσι:

    Τοῦ Ἔβρου διδασκάλισσα
    γιὰ λίγο εἰσάκουσέ με,
    καὶ σεῖστρα σοῦ κροτάλισα
    καὶ στύρακα σοῦ καῖμε,
    τοῦ Ἔβρου διδασκάλισσα
    τιμώρησε ἐκείνους
    ποὺ ὕπουλα μοῦ κλέψανε τὸν ἀριθμὸ τοῦ Κτήνους!
    Μοῦ εἶπαν λόγια ψεύτικα
    πὼς θἆναι αὐτὸς δικός μου,
    στὰ δίχτυα τους πῶς μπλέχτηκα!
    ἐχάθη ὁ ἀριθμός μου!
    μοῦ εἶπαν λόγια ψεύτικα!
    τοὺς ἄθλιους θεατρίνους!
    τί ὕπουλα μοῦ ἔκλεψαν τὸν ἀριθμὸ τοῦ Κτῆνους!
    Μονόδρομος ἁπλώνεται
    τώρα γιὰ μᾶς καρντάσια,
    κι ἐσεῖς δὲν τὴν γλυτώνετε
    Δραγώνικα κουμάσια!
    Μονόδρομος ἁπλώνεται
    ἐκδίκησης, τοὺς θρήνους
    ἀρχίστε ὅσοι μοῦ κλέψατε τὸν ἀριθμὸ τοῦ Κτήνους!
    Συντρόφια πομακόπαιδες
    κι ἐσεῖς οἱ Γκαγκαοῦζοι,
    σὲ ἀτραποὺς ἰσόπεδες
    πρὸς τί οἱ κολαοῦζοι;
    Συντρόφια πομακόπαιδες
    εἶν’ὁ ἐχθρὸς ὀξύνους
    καὶ μοῦ ‘κλεψε μπαμπέσικα τὸν ἀριθμὸ τοῦ Κτήνους!
    Doctor, ἐχθρέ μου ὕπατε,
    αἰχμάλωτο σὲ θέλω
    κι ἐσᾶς ποὺ λόγια εἴπατε
    Ἰάγου στὸν Ὀθέλλο.
    Doctor, ἐχθρέ μου ὕπατε,
    φιλιππικοὺς πυρίνους
    ἀγόρευσες καὶ ἅρπαξες τὸν ἀριθμὸ τοῦ Κτήνους!

  15. sarant said

    13: Ο Μπουκάν λέει ότι δεν γίνεται να μετρήσεις το ύψος με τη μέθοδο του Θαλή -το άρθρο λέει ότι γίνεται.

  16. Νέο kid στο block said

    Το άρθρο (φαντάζομαι εννοείς το άρθρο της wiki) λέει ότι γίνεται με χρήση του θεωρήματος Strahlenzatz(Intercept theorem ) το οποίο ΑΠΟΔΙΔΕΤΑΙ ΙΣΩΣ στον Θαλή.
    Νομίζω ότι ο Μπουκανιέρος (αν και δε κάνει να μιλώ εξ ονόματός του) αναφέρθηκε στις πηγές (Διογένη Λαέρτιο) και εγώ επέκτεινα και στους Πλούταρχο και Πλίνιο .
    Στις πηγές λοιπόν αναφέρεται μια μέθοδος που ΔΕΝ μπορεί να μετρήσει το ύψος της Πυραμίδας. Μόνο στον Πλούταρχο υπάρχει νύξη του κατάλληλου θεωρήματος. Αλλά τότε υπήρχε ήδη η απόδειξη του Ευκλείδη.
    Όταν λέμε πάντως Θεώρημα του Θαλή δεν εννοούμε αυτό, αλλά το άλλο με τον κύκλο .
    ΥΓ. Ο Ολλανδός είναι ο προμηθευτής μας σε κρέας και γάλα (και ο Γάλλος και ο Βέλγος και άλλοι βέβαια ,αλλά δεν χωραγανε όλοι στο ποίημα). Μα καλά, δεν άκουσες την εθνοσωτήριο λύση που πρότεινε χθες ο Καρατζαφέρης; 🙂

  17. sarant said

    Για τις πολυκατοικίες τι είπε; Να βάλουμε κατσίκια στο κλιμακοστάσιο;

  18. Μπουκανιέρος said

    9 Αφού δεν λέμε κάτι διαφορετικό, γιατί γράφεις σα να διαφωνούμε; 🙂

    9-10 Η παρατήρηση του Lands (ότι οι ακμές μπορεί να μας παίζουν παιγνίδια) είναι ουσιαστική. Από την άλλη, για να εφαρμοστεί η μέθοδος της σκιάς χρειάζεται να μας κάθονται κι οι «επιπλέον προϋποθέσεις» (προσανατολισμός της πυραμίδας κλπ.), ενώ κι ο υπολογισμός της γωνίας, αν δεν είναι ορθή (10), βάζει ένα θέμα.
    Με μια κουβέντα, το ζήτημα (το εμπόδιο στην ακρίβεια των υπολογισμών) γεννιέται κυρίως απ’ το γεγονός ότι η πυραμίδα (ή οποιαδήποτε ανάλογη κατασκευή) δεν αντιστοιχεί απολύτως στο καθαρό γεωμετρικό σχήμα. Αλλά αυτό το πρόβλημα ισχύει είτε χρησιμοποιήσουμε τη σκιά είτε την άλλη μέθοδο.

    Όμως, πέρα από τις τεχνικές λεπτομέρειες, μεγαλύτερο ενδιαφέρον έχει το, ας πούμε, ηθικό δίδαγμα που αντλούν απ’ το θρύλο:
    Οι Αιγύπτιοι, παρότι έχτισαν οι ίδιοι τις πυραμίδες, κάθονταν και τις κοίταζαν για αιώνες σα χαζοί, χωρίς να μπορούν να υπολογίσουν το ύψος τους. Τι κόπανοι! Ώσπου έρχεται ο μεγαλοφυής Θαλής και λύνει το πρόβλημα στο τσάκα-τσάκα. Έτσι αποδεικνύεται η ανωτερότητα (μοναδικότητα κοκ.) του αρχαιοελληνικού πολιτισμού απέναντι στους τρογύρω βαρβάρους.

  19. Μπουκανιέρος said

    15 Μα βρε Νίκο, ξαναδιάβασε το 7. Πού λέω ότι «δεν γίνεται»;
    Λέω μόνο (χοντρικά) ότι οι υπολογισμοί που χρειάζονται για να μετρήσεις τη σκιά, θα αρκούσαν για να μετρήσεις το ύψος χωρίς ν’ ασχοληθείς με τη σκιά.

  20. bernardina said

    #17 Μπα, εκεί μόνο μερικές κοτούλες… Και κάνα κοινόχρηστο κουνελάκι στην ταράτσα, που αβγατίζουν και γρήγορα 😆

  21. sarant said

    Δεν είπες «δεν γίνεται», είπες «είναι αδυνατο να μετρηθεί απευθείας στο έδαφος». Ήταν και πρωί.

  22. sarant said

    20: Είχαμε κάποτε κουνέλια στην ταράτσα -αβγατίζουν πράγματι πολύ γρήγορα. Επίσης τρώνε τα καλώδια.

  23. tamistas said

    να συνδέσουμε το χθεσινό άρθρο με το σημερινό;

    Χωρὶς τὴ μαθηματικὴ τάξη, δὲν στέκει
    τίποτε: Οὔτε οὐρανὸς ἔναστρος,
    οὔτε ρόδο. Προπαντὸς ἕνα ποίημα.
    Κι εὐτυχῶς ὅτι μ᾿ ἔκανε ἡ μοῖρα μου
    γνώστη τῶν μουσικῶν ἀριθμῶν,
    ὅτι κρέμασε μίαν ἀχτίνα ἐπὶ πλέον
    τὸ ἄστρο τῆς ἡμέρας στὴν ὅρασή μου
    καὶ κάνοντας τὰ γόνατά μου τραπέζι
    ἐργάζομαι, ὡς νά ῾ταν νὰ φτιάξω
    ἕναν ἔναστρο οὐρανό, ἢ ἕνα ρόδο.

    Νικηφόρου Βρεττάκου, Οι μουσικοί αριθμοί

  24. tamistas said

    Πέρα από την αριθμολογία και την αριθμολαγνεία, αξίζει να συστήσω σε όσους έχουν αλλεργία στους αριθμούς, το βιβλίο του (γνωστότερου από άλλα βιβλία, όπως το Σύντομο καλοκαίρι της Αναρχίας) Γερμανού συγγραφέα Χανς Μάγκνουμ Εντσερμπέργκερ «το Πειραχτήρι των Αριθμών».
    Το αγόρασα πριν από χρόνια στην κόρη μου, σε μια απέλπιδα προσπάθειά μου ν’ αγαπήσει τα μαθηματικά. Αυτή συνέχισε να τα μισεί, εγώ απόλαυσα ένα υπέροχο βιβλίο που (δεν) απευθύνεται (μόνο) σε παιδιά.

  25. Νέο kid στο block said

    18. Κανένα ρόλο δεν παίζει η αυστηρή γεωμετρία του στερεού σώματος. Μπορεί να είναι μια πυραμίδα, ένας βράχος ,ένα δέντρο ή κι ένας γάιδαρος (ακίνητος). Το θεώρημα (το οποίο πιστεύω πρέπει να πιστωθεί στον Ευκλείδη) είναι εφαρμόσιμο. Η προβολή του σώματος στο επίπεδο (αυτό παίζει ρόλο, η επιπεδότητα της βάσης και της γύρω περιοχής, αν εννοείς έτσι τον προσανατολισμό της πυραμίδας) ασφαλώς προσδιορίζεται με μεγαλύτερη ακρίβεια όσο πιο αυστηρά γεωμετρικό είναι το σώμα, αλλά με καλή προσέγγιση προσδιορίζεται εύκολα για οποιασδήποτε μορφής στερεό.
    Για το ηθικό δίδαγμα, συμφωνώ και διαφωνώ. Ναι μεν δεν μπορεί να ήταν ηλίθιοι οι Αιγύπτιου από την άλλη όσο και να δειχτούμε την θώρια της κλειστής χαμένης γνώσης ,της κάστας κλπ. πως γίνεται να μην έχουμε ακούσει για κάποιον Αιγύπτιο –έστω ελάσσονα- μαθηματικό; Είναι κάτι που προβληματίζει. (εμένα τουλάχιστον).

  26. Tην Ιερουσαλήμ, βεβαίως, εξαίρετε ποιητά Νεοκίδιε, κατέστρεψε το 70μΧ ο ομώνυμος Τίτος. Ορρωδώ να αναφερθώ στο άθροισμα του ονόματος. Ξέρω, πάντως, το ποιημάτιον του ποιητού της Παλατινής: «ΠΡΩΚΤΌΣ και χρυσός την αυτήν ψήφον έχουσιν / ταύτ’ εύρον ποτέ ψηφίζων εγώ»…

  27. Εξάλλου, την λύση για την κατασκευή των Πυραμίδων, είχεν εύρει – ώ αθάνατον ελληνικό δαιμόνιον – ο παρ’ ημίν Αρκάς (ουχί όμως Αρκαδοκύπριος). Την Πυραμίδα κατεσκεύαααν για να θάψουν τον Αιγύπτιο γέροντα που το είχε παρακάνει στο βιάγκρα. Ός έστι στύσαι δυνατός, έλεξεν και ο Αριστοφάνης. (Πιπέρι στο στόμα, θα είμαι από τούδε και εις το εξής, φρόνιμος κ. διαχειριστά).

  28. Ορίστε ένα τετράγωνο Ντύρερ με 64 τετράγωνα ώστε να μπορεί να γραφτεί σε σκακιέρα:

    64 2 3 61 60 6 7 57
    9 55 54 12 13 51 50 16
    17 47 46 20 21 43 42 24
    40 26 27 37 36 30 31 33
    32 34 35 29 28 38 39 25
    41 23 22 44 45 19 18 48
    49 15 14 52 53 11 10 56
    8 58 59 5 4 62 63 1

    Το θέμα του Θαλή είναι η προσφορά των προγόνων μας στον πολιτισμό. Η απόδειξη και η λογική, οι Αιγύπτιοι ξέραν να γωνιάζουν με ένα σχοινί μήκους 12 μονάδων αν έφτιαχναν τρίγωνο με αναλογίες 3,4,5 ώστε να υλοποιούν την ορθή γωνία και να χαράζουν τα χωράφια μετά τις πλημμύρες αλλά ο Πυθαγόρας το απέδειξε και δεν αρκέστηκε στο «το είπε ο παπάς» ή «το είπε ο γραφιάς». Ίσως οφείλεται στις κοινωνικές συνθήκες , ίσως στο ότι έκαναν αποικίες και προφανώς δεν είχαν λόγο να φύγουν από τη μητρόπολη οι βολεμένοι και οι «αυθεντίες» αλλά τα ανήσυχα πνέυματα και με διάθεση να πάρουν νέα πράγματα από τους άλλους λαούς στην περιοχή της αποικίας (το τελευτάιο είναι προσωπική μου άποψη).
    Δυστυχώς αυτήν ακριβώς την προσφορά αγνούν οι τύποι που προσπαθούν να μας πέισουν για τα έξι εκατομύρια λέξεις με λογικά άλματα ή κάνουν επίκληση στην αυθεντία του Ισοκράτη μάλιστα με ανύπαρκτα ρητά.

  29. Runciman Award 2000: Dr Reviel Netz, The Shaping of Deduction in Greek Mathematics: A Study in Cognitive History, Cambridge University Press.
    Η Απόδειξη, η μεγαλύτερη προσφορά των λογοκρατών Ελλήνων.

  30. physicist said

    #28.

    Η αναζήτηση αρμονικών, καθαρών και «τέλειων» δομών με βάση τη λογική σκέψη έπαιξε, νομίζω, ρόλο-κλειδί για την πρωτοποριακή σνεισφορά των Αρχαίων Ελλήνων στα Μαθηματικά· δεν είναι σύμπτωση που αρίστευσαν στη Γεωμετρία. Η άλλη όψη του νομίσματος είναι ότι ήταν κάπως σνομπ απέναντι στα πειράματα και είχαν μιαν άπωση στην ιδέα ότι φυσικές δομές μπορεί να αποκλίνουν από την τελειότητα. Αυτός είναι ένας από τους λόγους (μαζί με άλλους βέβαια, ότι π.χ. δεν είχαν την κατάλληλη τεχνολογία), που η συνεισφορά τους στη Φυσική δεν συγκρίνεται σε διάρκεια και επιτυχία μ’ αυτή που είχαν στα Μαθηματικά.

    Να μην ξεχνάμε από την άλλη μεριά και το Μηχανισμό των Αντικηθύρων, που δείχνει ότι δεν ξέρουμε όλη την αλήθεια για τις γνώσεις τους περί Αστρονομίας και για την Τεχνολογία που είχαν. Η σύγχρονη αποκρυπτογράφηση και η ανακατασκευή του είναι μια θαυμάσια ιστορία, με συνεργασία ανθρώπων από διαφορετικούς τομείς και χώρες, έξοχο δείγμα έρευνας που σαγηνεύει με την εξέλιξή της και με τ’ αποτελέσματά της. Μιας και δεν είναι άσχετη αυτή η ιστορία με τα γλωσσικά, μπορεί ίσως ο Νικοκύρης να το ‘χει ήδη σκεφτεί να κάνει σχετική ανάρτηση στο μέλλον.

  31. Νέο kid στο block said

    Παναγιώτη, (σχ.28 ) το πρόβλημα είναι ότι με γνώσεις 3-4-5 γώνιασε! ΔΕΝ κτίζονται πυραμίδες (τουλάχιστον όχι οι καλές από αυτές, όπως του Χέοπα και άλλες). Αυτό νομίζω είναι αδιαμφισβήτητο ή τέλος πάντων οι σχετικές επιστημονικές (σοβαρές, γιατί υπάρχει και τσαρλατανισμός φουλ επί του θέματος) μελέτες, εκεί κατατείνουν.
    Το θέμα που με προβληματίζει είναι ΠΟΥ είναι αυτές οι γνώσεις;; ΠΩΣ γίνεται να μην έχουν μείνει –έστω κάποια μικρά θεωρητικά ψήγματα- αυτής της προηγμένης γνώσης όσο και αρχαία και να είναι; Ειλικρινά δεν έχω απάντηση και δε δέχομαι βέβαια τις θεωρίες για τον Ε.Τ τον εξωγήινο κλπ. Ως προς το ότι υπήρχε η γνώση και μεταλαμπαδεύτηκε (σημαντικό μέρος της) στους Έλληνες, η λογική μου, μού λέει ναι.

  32. LandS said

    #25 Κοίτα Νεοκίντ, για να χτιστούν οι πυραμίδες χρειάστηκαν χιλιάδες άνθρωποι που έπρεπε να βγάζουν πέτρες, να τις κουβαλούν, να τις λαξεύουν, να τις τοποθετούν, να τις στηρίζουν με ξυλεία, να ξυπνούν, να πίνουν, να τρώνε, να απομακρύνουν τους νεκρούς και τραυματίες των ατυχημάτων, να έχουν προστασία από τον ήλιο και από το κρύο την νύχτα κλπ. κλπ. για δεκάδες χρόνια
    Εσύ ξέρεις αν ένα τέτοιο τεχνικό έργο μπορεί να γίνει χωρίς σχέδιο και υπολογισμούς, και σε πιστεύω. Όμως πίστεψε και εμένα όταν λέω ότι τα logistics που απαιτούνται είναι τέτοια, που, χωρίς σχέδιο και οργάνωση, το πράγμα θα κατέληγε στο απόλυτο χάος μέσα στον πρώτο μήνα (Η αποτυχία του χτισίματος του Πύργου της Βαβέλ, δεν αποδίδεται στο τεχνικά ανέφικτο της κατασκευής πύργου σε τόσο ύψος, αλλά σε breakdown of communications). Δεν μας έχει παραδοθεί κανένα όνομα, έστω και ελάσσονα logistics manager, Αρχαίου Αιγύπτιου, Έλληνα, Ρωμαίου (ο Αγρίππας θα μπορούσε να θεωρηθεί τέτοιος) ή Άραβα 🙂 🙂
    Γαμώτο, ούτε καν το όνομα του κατασκευαστή του Καθεδρικού στο Σάρτρ ξέρουμε!

    Εγώ θα συμφωνήσω με τον Μπουκανιέρο στο ότι «εμείς οι Έλληνες» εμπνεόμαστε με το βγάζουμε κόπανους κάποιους που έχουν φτιάξει κάτι θαυμαστό, μόνο και μόνο επειδή κάποιος «δικός μας» έκανε μια μελέτη (θαυμαστή και αυτή) μεταγενέστερα.

  33. sarant said

    32: Ο Φειδίας, ας πούμε, δεν ήταν μάνατζερ;

  34. LandS said

    Καλά έχουμε αναλογιστεί ότι χώριζαν τον Θαλή από την κατασκευή της πυραμίδας περίπου τόσα χρόνια όσα χωρίζουν εμάς από την αρχή της χρονολόγησης μας; (Για να μη γράψω από τον Χριστό και θεωρηθώ βλάσφημος)

  35. …όπως είπε και ο Ναπολέων («Στρατιώτες, σαράντα χιλιάδες χρόνια σας ατενίζουν από κει πάνω…»)

  36. (εντάξει, ήταν λίγο υπερβολικός) 😉

  37. Παρατήρηση : Το 2011 στην ελληνική του γραφή είναι ΒΙΑ. Παρακαλούνται οι αριθμο-λεξι-λάγνοι του ιστολογίου να ερμηνεύσουν τι φοβερό αυτή σημείο!

  38. vioannis said

    Λάθος υπογραφή!
    vioannis

  39. LandS said

    #33 Σίγουρα, αλλά νομίζω ότι δεν άφησε και όνομα ως μάνατζερ, όπως (κατά κάποιο τρόπο) ο Αγρίππας.

    Απλά θέλω να πω, ότι ανάλογα με την εποχή αποδίδεται διαφορετική σημασία σε ικανότητες και γνώσεις. Έτσι, όπως δεν μπορούμε να πούμε ότι οι Αρχαίοι Έλληνες δεν σκάμπαζαν γρι από ακουστική χώρου επειδή δεν μας έχει παραδοθεί μελέτη ακουστικής κανενός αρχαίου θεάτρου ή ωδείου, έτσι δεν μπορούμε να πούμε για τους Αρχαίους Αιγύπτιους και τα Μαθηματικά (ή τα Logistics).

  40. @24: Μιλώντας για βιβλία για όσους αγαπούν τα μαθηματικά, να αναφέρω κι εγώ ένα μικρό και πολύ διασκεδαστικό βιβλιαράκι, το «Η Χαρά του π», αφιερωμένο στο γνωστό π = 3,14… γεμάτο με ιστοριούλες και ανέκδοτα σχετικά με ανθρώπους που παθιάστηκαν με αυτόν τον αριθμό! Πάρα πολύ ενδιαφέρον! 🙂

  41. voulagx said

    #25 Νοιυ κιντ ειπε:»..πως γίνεται να μην έχουμε ακούσει για κάποιον Αιγύπτιο –έστω ελάσσονα- μαθηματικό; Είναι κάτι που προβληματίζει. (εμένα τουλάχιστον).»

    Ξερουμε τον Αχμες, δες εδω: http://application.econ.upatras.gr/users/tzagara/courses/intro/2009-2010/project/team1/site/009.htm

  42. bernardina said

    #24, 40

    Επειδή το άγχος μου όποτε ερχόμουν αντιμέτωπη με τα μαθηματικά ήταν γνωστό τοις πάσι, κάποιοι φίλοι λίγο μετά το λύκειο μού χάρισαν «Το Άγχος για τα Μαθηματικά» της Pamala Byrd Cemen, μια περιγραφική μελέτη της φύσης και των γενετικών παραγόντων του άγχους για τα μαθηματικά όπως λέει και στην παρένθεση κάτω από τον τίτλο του εσωφύλλου.

    Well… δεν βοήθησε. (Και μάλλον δεν έφταιγε το βιβλίο :mrgreen: )

    ΥΓ. Στο λύκειο, μού άρεσε να αποδίδω την απέχθειά μου προς την Άλγεβρα στο ότι κάθε πρόβλημα έχει απαραίτητα μόνο μία σωστή απάντηση, πράγμα που στραβοφαινόταν στον ατίθασο χαρακτήρα μου 😆 Shifts and excuses…

  43. LandS said

    #42. Δεν ισχύει πάντοτε το «κάθε πρόβλημα έχει απαραίτητα μόνο μία απάντηση» . Ιδιαίτερα όταν το ζητούμενο είναι να βρεις ικανές συνθήκες για να ισχύει κάποιο δεδομένο. Μόνο η καλή λογοτεχνία υπερτερεί σε ομορφιά.

  44. voulagx said

    Ενα καλο βιβλιο για την ιστορια των Μαθηματικων: http://www.cup.gr/ViewShopProduct.aspx?ProductId=264457&LangId=1

  45. Μπουκανιέρος said

    25 (τέλος) Γιατί, ξέρεις με τ’ όνομά του κανένα αιγύπτιο ζωγράφο;
    και 31β Για μια πληρέστερη απάντηση χρειάζεται αιγυπτιολόγος (π.χ. οι γνώσεις μου για το πόσα, ποια κλπ. κείμενα σώθηκαν, και πώς, είναι λειψές), αλλά είναι πιθανό το μεγαλύτερο μέρος της πνευματικής τους παράδοσης να μεταβιβαζόταν με τρόπους που π.χ. δεν αφήνουν αρχαιολογικά ίχνη. Τουλάχιστον φαίνεται να ισχύει για άλλους «χαμένους» πολιτισμούς.

    30β Έχει ζουμί το θέμα – ωστόσο χρονολογείται στην (ελληνο)ρωμαϊκή εποχή, αν δεν κάνω λάθος.

    28β Ναι, αυτό είναι το θέμα (πολύ αμφιλεγόμενο πράγματι), μήπως αυτή η οπτική κρύβει κάποιου είδους «οριενταλισμό». Π.χ. μήπως στη μία περίπτωση βλέπουμε «άκριτο σεβασμό προς τους άξεστους παπάδες» και στην άλλη «ορθολογικό θαυμασμό προς τις ορθολογικές μεγαλοφυίες», αυτό που λέμε εδώ «λογική απόδειξη» το ονομάζουμε αλλού «μυθική σκέψη», κοκ.

  46. @31 Αυτό σηκώνει μεγάλη συζήτηση. Λόγω επαγγέλματος έχω δει μπετατζήδες να χρησιμοποιούν το τρίγωνο 3,4,5 χωρίς να ξέρουν το πυθαγόριο θεώρημα, να χρησιμοποιούν το αλφαδολάστιχο χωρίς να ξέρουν τα συγκοινωνούνται δοχεία και την ατμοσφαιρική πίεση, το κανταράκι χωρίς να ξέρουν το νόμο της παγκόσμιας έλξης και την διέυθυνση της βαρύτητας, να φτιάσχνουν καλούπια που να αντέχουν το μπετό χωρίς να ξέρουν αντοχή των υλικών (και πίστεψέ με είναι αρκετά στριφνό πρρόβλημα να το λύσεις). Είναι γνωση ή τεχνική; Τεχνική που μεταβιβάζεται από το μάστορα στον διάδοχο και κρατιέται μυστική από τους ανταγωνιστές και για αυτό δεν έχουμε γραπτά στοιχεία για αυτή.
    Είναι ένα θέμα που νομίζω ότι ο Άρθουρ Κλάρκ στα μυστήρια του κόσμου το έθεσε σωστά «νομίζουμε ότι οι άνθρωποι τότε επειδή ήταν αρχαίοι ήταν και χαζοί». ϊσως το θέμα ότι υπάρχουν γνώσεις που σημερινός άνθρωπος των πόλεων έχει ξεχάσει Για παράδειγμα δεν μπορεί πια να ξεχωρίσει τις ισγμερίες και τα ηλιοστάσια ούτε την κινηση του ηλίου και των άστρων αφού δεν του χρειάζονται πια (πχ για να ξεχωρίσει τις εποχές κοιτάει το ημερολόγιο, το ρολόι του). Σε παρόμοιες συζητήσεις απαντώ στα ερωτήματα:
    Πως προσανατόλιζαν ακριβώς τις πυραμίδες ακριβώς στα σημεία του ορίζοντα χωρίς πυξίδα;
    Με τον ίδιο τρόπο που έβαζαν το ιερό των εκκλησιών προς την ανατολή και ταξίδευαν στις θέλασσες παρατηρόντας τον ήλιο και τα αστέρια.

    Πως μετακινούσαν τις πέτρες χωρίς μηχανήματα;
    Με τον ίδιο τρόπο που τις μετακινούσαν στο γεφύρι της Άρτας και στην Αγία Σοφία με απλές μηχανές (πχ κεκλιμένο επίπεδο, μοχλός).

    Θα συμφωνήσω με τον φυσικό ότι είχαν μια «απέχθεια» για την πρακτική εφαρμογή στην αναζήτηση των ιδεατών προτύπων. ϊσως θεωρούσαν τα πρακτικά θέματα άξια να ασχολείται η «μαστοράτζα» που συνήθως ήταν δούλοι οπότε ανάξια να γραφτούν. Για παράδειγμα ο Λυσίας βάζει τον αδύνατο να λέει «τέχνην δὲ κέκτημαι βραχέα δυναμένην ὠφελεῖν, ἣν αὐτὸς μὲν ἤδη χαλεπῶς ἐργάζομαι»* και θυμάμαι από το σχολείο να μας λέει η φιλόλογος ότι το να ασκέι μόνος του την τέχνη ήταν στοιχείο φτώχιας αφού δεν είχε δούλους άρα το λέει για να ενισχύσει την α επιχειρήματά του.
    Δεν είναι τυχάιο όιτ στην παρακμή του συστήματος της πόλης κράτους εμφανίστηκαν οι πρώτοι που έψαξαν για τις πρακτικές εφαρμογές (Ήρωνας, Αρχιμήδης) και πέρα από την γεωμετρία (πσχ ο Διόφαντος με τιςγραμμικές εξισώσεις).
    Ή το ότι οι πρώτοι που ασχολήθηκαν με την τυποποίηση (κι έμεινε σε μας γραπτά πχ από τον Βιτρούβιο) και δεν αρκέσηκαν να το αφήσουν να το φτιάξει ένας μάστορας «που ξέρει» ήταν οι Ρωμαίοι που έπρεπε να εξασφαλίσουν ότι οι δρόμοι τους και τά άλλα έργα τους θα φτιάχνονταν όπως ήθελαν κι ας ήταν στην άλλη μεριά της αυτικρατορίας έστω και από ντόπιους ανειδίκευτους εργάτες. Κάτι ανάλογο με τις ΗΠΑ της βιομηχανικής επανάστασης που έπρεπε να βρουν τρόπο να φτιάχνουν προιόντα με εργατικό δυναμικό ανειδίκευτους μετανάστες, κι έτσι φτάσαμε στη σύγχρονη τυποποίηση.

    Θα πρότεινα όποιος θέλει να ασχοληθέι με τα τεχνολογικά επιτέυματα των αρχαίων ελλήνων τα πρακτικά του σχετικού συνδρίου του ΤΕΕ http://portal.tee.gr/portal/page/portal/PUBLICATIONS/book_publications/books_2006/archaia_elliniki .
    Συγνώμη για το σεντόνι.

  47. physicist said

    45(β) Ναι, στο δεύτερο αιώνα π.Χ.

  48. bernardina said

    «Μόνο η καλή λογοτεχνία υπερτερεί σε ομορφιά.»
    Τείνω να συμφωνήσω -ενστικτωδώς, βέβαια, ως προς το πρώτο σκέλος (της ομορφιάς), αφού εξακολουθεί να είναι για μένα τέρα ινκόγκνιτα και μάλλον έτσι θα παραμείνει. 😉
    Αρκούμαι στο να απολαμβάνω τα χειροπιαστά έργα της (και συχνά να θαυμάζω εκείνους που αντιλαμβάνονται τη θεωρία και την κάνουν πράξη).
    Το μόνο που μπορώ να επιβεβαιώσω είναι πως η αντίληψη των μαθηματικών ΔΕΝ είναι (αυστηρά και μόνο) θέμα IQ 😉 Αν ενδεχομένως έχει να κάνει με μια άλλη -χμ- «διάρθρωση»* του εγκεφάλου ή είναι ζήτημα κοινωνικό-φύλου κλπ είναι μια πελώρια συζήτηση χωρίς κατάληξη -ή αλλιώς, χωρίς μία και μοναδική σωστή απάντηση 🙂

    *ελλείψει προσφορότερης λέξης

  49. homeAlone said

    Για τον #28, αλλά και τους υπόλοιπους :

    Τοποθέτησε τα στοιχεία του «μαγικού τετραγώνου» στα 8×8 τετραγωνίδια μιας λευκής «σκακιέρας» και βάψε μαύρα αυτά που περιέχουν τα άρτια στοιχεία.

    Κοίταξε τί προκύπτει!!!

  50. voulagx said

    Σαραντ, μια δορθωση: 666=χξς οχι χψς.

  51. Εντυπωσιακό! Συμβάνει εντυπωσιακότερα και στο τετράγωνο του Ντυρερ στην ανάρτηση αλλά εκέι έχουν αλλάξει θέσεις οι δύο μεσαίες στήλες για ν σχηματίζεται η χρονολογία κατασκευης του χαρακτικού (1514)

    Να πως και πως κατασκευάζεται (το εία βρει πιτσιρικάς σε κάποια εγκυκλοπάιδια μαθηματικών του Life κι εντυπωσιάστηκα ότι το θυμάμαι ακόμα). Βάζεις τους αριθμούς από το 1 έως το 64 χωρίς να βάζεις αριθμούς στις διαγωνίους των των τετραγώνων 4×4 που το σχηματίζουν, μόλις φτάσεις στο τέλος αρχίζεις από το τέλος και βάζεις πάλι τους αριθμους από 1 έως το 64 στις διαγωνίους (προφανώς δεν βάζεις εκέι που έβαλες πριν) και έτσι βάζεις τους αριθμούς που δεν έβαλες πριν. γίνεται και με μεγαλύτερα τετράγωνα.

  52. homeAlone said

    Παναγιώτη @51, κοίταξε αν ευκαιρείς το : http://tsakal.net/portal/ms/ (μόνο με InterNet Explorer).

    Είναι ένα πόνημά μου πάνω σε διάφορα (ως προς τη δομή τους) «μαγικά τετράγωνα».

  53. γιὰ τὴν κατὰ τὸ δοκοῦν χρῆσι τῶν ἀριθμῶν τὰ λέει ἄψογα ὁ Ἔκο στὸ Ἐκκρεμές.

    τὸ ποίημα θὰ πρέπῃ ν’ ἄρεσε πολὺ στὸν οἰκοδεσπότη, τὸ ἔχει ξανατσιτάρει!

    Γιὰ τὶς ἀνὰ τοὺς αἰῶνες ἑρμηνεῖες τοῦ 666 δόθηκαν ἄπειρες ἑρμηνεῖες.. μέχρι καὶ γιὰ τὸν Κάιζερ Γουλιέλμο Β’ εἶχαν πεῖ Γ +Ο +Υ +Λ+Ι+Ε +Λ +Μ +Ο +ς’ +Β ‘=666

  54. The Misconception: You take randomness into account when determining cause and effect.

    The Truth: You tend to ignore random chance when the results seem meaningful or when you want a random event to have a meaningful cause.

    Abraham Lincoln and John F. Kennedy were both presidents of the United States, elected 100 years apart. Both were shot and killed by assassins who were known by three names with 15 letters, John Wilkes Booth and Lee Harvey Oswald, and neither killer would make it to trial.

    Spooky, huh? It gets better… http://youarenotsosmart.com/2010/09/11/the-texas-sharpshooter-fallacy/

    Προσέξτε και πότε γράφηκε αυτό το πολύ καλό κείμενο… (μανούλα μου!)

  55. Ἀχιλλέας Τζάλλας said

    26 «Ψηφίζων δ’ ἀφελῶς τοῦτό ποθ’ εὗρον ἐγώ», ἂν μοῦ ἐπιτρέπετε τὴν διόρθωση (τοὐλάχιστον ἔτσι εἶναι στὴν ἔκδοση ποὔχω ἐγώ).

  56. sarant said

    50: Δίκιο έχεις, έγινε η διόρθωση.

    26-55: Όπου βέβαια ψηφίζω δεν θα πει ψηφίζω (αλλά και αφελώς δεν θα πει ακριβώς αφελώς).

    53: Γιατί να το κρύψω, μου άρεσε 🙂

  57. Ἀχιλλέας Τζάλλας said

    56 β «Κι ἀπονήρευτα ὅλως διόλου» μεταφράζει ὁ Ἰωάννου, καὶ μᾶλλον ἀποδίδει ἀκριβῶς τὴν χροιὰ τοῦ πρωτοτύπου.

  58. βέβαια ἂν ὁ Ἰωάννης δὲν τὸ ἔγραψε ὁλογράφως θὰ ἔγραψε ΧΞF.

  59. Νέο kid στο block said

    Την ατάκα του Βοναπάρτη που αναφέρει ο Δύτης στο 35. την επαναλαμβάνει ο δρυΐδης Πανοραμίξ στο ‘Αστερίξ και Κλεοπάτρα’ που αποσαφηνίζει το πώς έσπασε η μύτη της Σφίγγας και πώς ακριβώς φτιάχτηκαν οι πυραμίδες …με μαγικό ζωμό ! 🙂

  60. Χότζας said

    Η κολοκυθιά με τους αριθμούς, μπορεί να παιχτεί και με την εναλλαγή συστημάτων μέτρησης:
    Αν π.χ. κάποιος είναι 6 πόδια (72 ίντσες) ψηλός κατά το imperial, είναι ταυτόχρονα και 1,8288 μέτρα κατά το metric.
    Ποιό νούμερο ισχύει?
    Ποιό νούμερο παρουσιάζουμε?
    Ποιό νούμερο μας βολεύει?
    Ατέλειωτες ώρες παιχνιδιού και χαράς…

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Google

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Google. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

 
Αρέσει σε %d bloggers: