Ο μαγικός αριθμός 180

Σήμερα το μεσημέρι γίνεται η τρίτη ψηφοφορία στη Βουλή για την εκλογή Προέδρου της Δημοκρατίας κι έτσι σε μερικές ώρες από τώρα θα ξέρουμε αν θα συγκεντρωθεί ο αριθμός των 180 βουλευτών που απαιτείται από το Σύνταγμα ή αν θα πάμε για εκλογές -και πότε. Ως τώρα, τα προγνωστικά δείχνουν ότι οδεύουμε προς εκλογές, και μάλλον την 1η του Φλεβάρη, αλλά σε λίγο θα ξέρουμε και αν θα επαληθευτούν.

Για να είμαι ακριβέστερος, το Σύνταγμα δεν αναφέρει τον αριθμό 180. Η σχετική διάταξη (άρθρο 32, παράγραφος 3) κάνει λόγο για πλειοψηφία «των τριών πέμπτων του όλου αριθμού των βουλευτών», και τούτο επειδή το Σύνταγμα δεν ορίζει έναν συγκεκριμένο αριθμό βουλευτών, αλλά απλώς προβλέπει ότι ο αριθμός τους πρέπει να είναι μεταξύ 200 και 300. Ο συγκεκριμένος αριθμός ορίζεται από τον εκλογικό νόμο (νομίζω) και αφού οι βουλευτές είναι 300 τα 3/5 είναι οι 180 (και τα 2/3 που ίσχυαν για τις πρώτες δύο ψηφοφορίες είναι οι 200 βουλευτές).

Κι έτσι, ο αριθμός των 180 βουλευτών, τα 3/5 του συνόλου, έχει χαρακτηριστεί από πάρα πολλούς «μαγικός αριθμός». Μαγικός όχι για τις όποιες εγγενείς ιδιότητές του, αλλά επειδή, αν συγκεντρωθούν τόσες ψήφοι (ή: τόσοι ψήφοι στα πιο λαϊκά) θα εκλεγεί Πρόεδρος. Παίρνω ένα τυχαίο παράδειγμα: Καθώς υπολείπονται 12 ψήφοι για να επιτευχθεί ο “μαγικός αριθμός” 180… γράφει ένας ιστότοπος.

Πράγματι, 12 ψήφοι λείπουν, αφού θεωρείται δεδομένο πως οι 168 που ψήφισαν Σταύρο Δήμα τις προάλλες θα το επαναλάβουν και σήμερα. Θα βρεθούν; Είπαμε, όλα δείχνουν πως όχι, όμως δεν μπορούμε να το αποκλείσουμε. Αλλά… μεσημέρι κοντή γιορτή, για να παραφράσουμε την παροιμία, το σημερινό άρθρο θα είχε πολύ περιορισμένη διατηρησιμότητα αν περιοριζόταν σε εικασίες για τη δυνατότητα εκλογής Προέδρου.

Ωστόσο, ο αριθμός 180 έχει πράγματι μερικές πολύ ενδιαφέρουσες ιδιότητες, οπότε θα αφιερώσω το υπόλοιπο άρθρο σε αριθμολογία. Εννοείται ότι στα σχόλια μπορούμε να συζητήσουμε και το αποτέλεσμα της ψηφοφορίας, καθώς και τις προοπτικές που θα ανοίξει -είτε συγκεντρωθεί ο, μαγικός είπαμε, αριθμός, είτε όχι.

Καταρχάς, εύκολα βλέπουμε ότι ο αριθμός 180 έχει πολλούς διαιρέτες. Πόσους; Να μετρήσουμε: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 30, 36, 45, 60, 90, 180, σύνολο 18. Αυτό τον κάνει υπερσύνθετο αριθμό (για να αποδώσω το αγγλικό highly composite), δηλαδή έχει περισσότερους διαιρέτες από κάθε άλλον μικρότερό του θετικόν ακέραιο αριθμό.

Κατά σύμπτωση, και ο αριθμός των 168 βουλευτών που είναι το «κεφάλαιο», ας πούμε, με το οποίο προσέρχεται στην τελευταία ψηφοφορία ο κ. Σταύρος Δήμας, έχει κι αυτός αρκετούς διαιρέτες (διαιρείται μάλιστα με το 7, με το οποίο δεν διαιρείται ο 180). Μάλιστα, ένας από τους κοινούς τους διαιρέτες είναι το 12. Ο κ. Δήμας έχει συγκεντρώσει δεκατέσσερις δωδεκάδες βουλευτές, αλλά του λείπει η τελευταία ντουζίνα.

Ο αριθμός 180 δεν είναι τετράγωνο άλλου αριθμού, η ρίζα του είναι ανάμεσα στο 13 και στο 14, αλλά είναι άθροισμα δύο τετραγώνων: 180 = 144+36, δηλαδή 180 = 12² + 6². Είχαμε πει στο προηγούμενο αριθμοψηφολογικό άρθρο ότι ο αριθμός 168 μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα τεσσάρων συνεχόμενων πρώτων αριθμών (37+41+43+47), αλλά ο 180 μπορεί να εκφραστεί σαν άθροισμα όχι τεσσάρων, αλλά έξι συνεχόμενων πρώτων (19+23+29+31+37+41) ή ακόμα και οχτώ πρώτων (11+13+17+19+ 23+29+31+37)!

Μπορούμε να βρούμε και πιο εξεζητημένες ιδιότητες -ας πούμε, το 180 στον κύβο είναι άθροισμα 64 συνεχόμενων κύβων:
180³ = 6³ + 7³ +8³ +… + 68³ +69^{3
(δεν το έχω τσεκάρει, κάπου το βρήκα!)}

Αυτά όμως είναι κάπως ειδικά και γοητεύουν τους πιο μυημένους. Οι μαθηματικές ιδιότητες του 180 για τους λιγότερο μπασμένους στο βασίλειο των αριθμών έχουν σχέση με τον κύκλο και με τα τρίγωνα. Ο κύκλος έχει 360 μοίρες, που σημαίνει ότι το ημικύκλιο έχει 180 μοίρες -κι αν σκεφτούμε ότι η αίθουσα της Βουλής έχει σχήμα ημικυκλικό ή συχνά παριστάνεται σαν ημικύκλιο π.χ. στα διαγράμματα όπου φαίνεται η κατανομή των εδρών ανάμεσα στα κόμματα, φαίνεται πολύ ταιριαστό να χρειάζονται 180 ψήφοι, όσες και οι μοίρες του ημικυκλίου, για να μπορεί κάποιος να επηρεάσει καθοριστικά τη μοίρα της αίθουσας και της χώρας.

Γιατί έχει 360 μοίρες ο κύκλος (και κατ’ επέκταση 180 το ημικύκλιο; ) Πώς ήρθε στους Βαβυλώνιους η ιδέα να χωρίσουν τον κύκλο σε 360 ίσα μέρη και όχι σε κάποιον άλλο αριθμό; Κάποιο ρόλο πρέπει να έπαιξε το γεγονός ότι το έτος, δηλαδή η διάρκεια μιας πλήρης (σικ, έτσι για αλλαγή) περιστροφής της γης γύρω από τον ήλιο, έχει «περίπου» 360 μέρες, όπως επίσης και το ότι ο κύκλος, μπορεί να χωριστεί σε έξι ισόπλευρα τρίγωνα, και κάθε εκτημόριο (που έχει 60 μοίρες, ξέρουμε σήμερα) πιθανώς να το διαίρεσαν διά του 60, αφού είχαν εξηκονταδικό αριθμητικό σύστημα. Δεν λέω όμως περισσότερα διότι στο ιστολόγιο υπάρχουν σχολιαστές πολύ αρμοδιότεροι από μένα για το ζήτημα αυτό.

Το θέμα είναι ότι ο μισός κύκλος έχει 180 μοίρες, γι’ αυτό κι όταν θέλουμε να πούμε ότι κάποιος άλλαξε ριζικά τις απόψεις του, μεταστράφηκε προς την αντίθετη κατεύθυνση, μπορούμε να πούμε ότι «έκανε στροφή 180 μοιρών». Μερικοί μάλιστα αγεωμέτρητοι (παράδειγμα) νομίζουν ότι αν πουν «έκανε στροφή 360 μοιρών» δηλώνουν ακόμα πιο ριζική μεταστροφή -όμως με τις 360 μοίρες κλείνει ο κύκλος και επανερχόμαστε εκεί που βρισκόμασταν.

Οι 360 μοίρες ισοδυναμούν με 2π ακτίνια, άρα οι 180 μοίρες με π ακτίνια, οπότε κατά κάποιο τρόπο μπορούμε να αντιστοιχίσουμε το 180 με το π. Όχι με το γράμμα Π στο ελληνικό αριθμητικό σύστημα (Π είναι το 80), αλλά με το π το μαθηματικό, το 3,14 (και πάει λέγοντας) που είναι ο λόγος της περιφέρειας του κύκλου διά τη διάμετρό του.

Και βέβαια, 180 μοίρες είναι και το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου, που είναι μια πολύ βασική αρχή της γεωμετρίας -και που μια συνέπειά της είδαμε πιο πάνω, ότι οι γωνίες του ισόπλευρου τριγώνου, που είναι και οι τρεις ίσες μεταξύ τους, έχουν τιμή 60 μοίρες.

Μια άλλη εμφάνιση του αριθμού 180 έξω από τη γεωμετρία έχουμε στη φυσική. Στην θερμοκρασιακή κλίμακα Φαρενάιτ, το σημείο πήξης του νερού είναι στους 32 βαθμούς (αντίστοιχο των μηδέν βαθμών Κελσίου), ενώ το σημείο βρασμού είναι 212 βαθμοί (αντίστοιχο των 100 Κελσίου), άρα οι 100 βαθμοί Κελσίου αντιστοιχούν σε 180 Φαρενάιτ και από εκεί προέρχεται και ο λόγος 5/9 που χρησιμοποιείται στις μετατροπές μεταξύ C και F.

Επίσης οι 180 βαθμοί (Κελσίου) είναι μια συνηθισμένη θερμοκρασία του φούρνου όταν μαγειρεύουν. Μάλιστα, αυτός είναι και ο τίτλος ενός γαλλικού μαγειρικού περιοδικού, 180c.fr.

Σε λίγη ώρα θα ξέρουμε αν συγκεντρώθηκε ο μαγικός αριθμός, αν και ποιος θα τσουρουφλιστεί, αν θα βγει ΠτΔ ή αν (και πότε) θα έχουμε εκλογές. Τα σχόλιά σας λοιπόν!

Advertisement