Οι λέξεις έχουν τη δική τους ιστορία

Το ιστολόγιο του Νίκου Σαραντάκου, για τη γλώσσα, τη λογοτεχνία και… όλα τα άλλα

Γεωμετρίας εγκώμιον (Μνήμη Βένιου Αγγελόπουλου)

Posted by sarant στο 30 Μαΐου, 2022


Πριν από μια βδομάδα περίπου έφυγε από τη ζωή ο μαθηματικός Βένιος Αγγελόπουλος (1943-2022), καθηγητής του ΕΜΠ και αγωνιστής της Αριστεράς.

Δεν τον γνώρισα όσο φοιτούσα στο ΕΜΠ, ήρθε όταν είχα τελειώσει, αλλά είχα την τύχη να τον γνωρίσω πριν από καμιά δεκαριά χρόνια και είχαμε αμοιβαία εκτίμηση. Σχολίαζε περιστασιακά και στο ιστολόγιο, μας είχε δώσει και δημοσιεύσαμε μάλιστα πριν από τρία χρόνια και ένα κείμενό του για τον Στέλιο Ανεμοδουρά, τον συγγραφέα του Μικρού Ήρωα. Ο Βένιος ειχε και ιστολόγιο, Του Βένιου τα καμώματα, στο οποίο δημοσίευε πολιτικά και άλλα κείμενά του.

Τις προάλλες, που συζητήσαμε στο ιστολόγιο τον θάνατο του Βένιου, αναφέρθηκε και ένα παλιό του κείμενο περί γεωμετρίας, μια ομιλία του σε συνέδριο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, που έχει επίσης συμπεριληφθεί στο βιβλίο του «Θέλουμε παιδεία;» (εκδ. Νήσος 2008).

Σκέφτηκα πως αξίζει να το αναδημοσιεύσουμε και να το συζητήσουμε και στο ιστολόγιο, που έχουμε αρκετούς μαθηματικούς ή φιλομαθηματικούς σχολιαστές. Κι εμένα μου άρεσε στο γυμνάσιο η γεωμετρία -αν και δεν έφτανα εκείνον τον μαθητή μιας μεγαλύτερης τάξης, όπως έλεγε ο θρύλος, είχε λύσει όλα τα προβλήματα των Ιησουιτών (ένα θρυλικό βιβλίο με προβλήματα γεωμετρίας).

O λόγος λοιπόν στον Βένιο

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΕΓΚΩΜΙΟΝ

Αφιερώνεται στους

Παντελή Ρόκο

Παύλο Κολλάρο

Denis Clodic

που μ’έμαθαν Γεωμετρία

Όταν κανείς αρχίζει και βγάζει ένα λόγο επιχειρηματολογώντας υπέρ ή κατά κάποιου, συνηθίζουμε να δίνουμε περισσότερη βάση (και καλώς ίσως) στο γιατί λέει αυτά που λέει, παρά στο τί λέει. Αισθάνομαι λοιπόν καταρχήν υποχρεωμένος να δηλώσω τα κίνητρά μου, δηλαδή για ποιό λόγο θα τοποθετηθώ υπερ της Γεωμετρίας.

Πρώτα – πρώτα γιατί μ’ αρέσει η Γεωμετρία. Δεν νομίζω ότι αυτό χρειάζεται παραπέρα εξήγηση.

Δεύτερο γιατί αρνούμαι να υποστώ την μοίρα των δεινοσαύρων. Αυτό χρειάζεται κάποια εξήγηση. Διδάσκω Μαθηματικά και παρατηρώ ότι στους φοιτητές μου, τόσο στους πρωτοετείς, τους νεοεισερχόμενους από την δευτεροβάθμια εκπαίδευση, όσο και στους μεταπτυχιακούς, που έχουν ολοκληρώσει ένα μαθηματικό ας πούμε κύκλο ή και ένα κύκλο σπουδών μηχανικού, υπάρχει μια έλλειψη κοινής γλώσσας, κοινού υποβάθρου. Σ΄αυτούς, τα γεωμετρικά σχήματα με τα οποία οι παλαιότεροι από μας έχουν – για να χρησιμοποιήσω έναν ευγενικό όρο – γαλουχηθεί, δεν τους λένε και πολλά πράγματα. Δεν αποτελούν γι αυτούς, αυτό το οποίο ο Kuhn αποκαλεί “επιστημολογικό παράδειγμα”. Και σα δάσκαλος, θέλω να έχω ένα κοινό πλαίσιο επικοινωνίας με τους φοιτητές μου, θέλω να έχω το ίδιο πολιτισμικό υπόβαθρο, θέλω αυτά τα οποία τους λέω να τα καταλαβαίνουν με τις ίδιες προσλαμβάνουσες με μένα.

Επομένως, ο λόγος που θα βγάλω έχει μέσα του μια ιδιοτέλεια. Έχει μία υποκειμενικότητα. Από κει και πέρα, έχοντας δώσει τα κίνητρά μου, οτιδήποτε πω και η οποιαδήποτε επιχειρηματολογία μου, μπορεί μεν να  πηγάζει από ιδιοτέλεια, αλλά η όποια αξία της έγκειται στο κατά πόσο αυτή την ιδιοτέλεια, αυτή την υποκειμενικότητα, την ξεπερνάει.

  • Θα αρχίσω λοιπόν με κάτι που είχα πει κάποτε σε συμμαθητές μου, όταν είχα φύγει για πρώτη χρονιά μετά το Γυμνάσιο (το τότε εξατάξιο Γυμνάσιο, σε αντιστοιχία με το σημερινό Λύκειο), στη Γαλλία, όπου είχα ανακαλύψει την Αναλυτική Γεωμετρία σε αρκετό βάθος, όπως διδασκότανε τότε. Και γελώντας είχα πει, όταν μου λέγανε “τί κανετε; Γεωμετρία, Τριγωνομετρία;”, είχα πει: “Δεν υπάρχει Γεωμετρία, ούτε Τριγωνομετρία, όλα είναι συναρτήσεις”.

Για να σταθώ λιγάκι σ’ αυτό, υπό κάποια έννοια το ασπάζομαι ακόμα και σήμερα. Υπό κάποια έννοια, γιατί; Γιατί από την εποχή του Hilbert και μετά έχει αποδειχθεί ότι η Γεωμετρία, η κλασική τουλάχιστον Γεωμετρία, είναι ισοδύναμη με τη μελέτη των ιδιοτήτων ορισμένων υποσυνόλων του τρισδιάστατου χώρου R3 ή του δισδιάστατου, αν μιλάμε για επιπεδομετρία, R2. Τα πάντα μπορούν να εκφραστούν συνολοθεωρητικά. Τα πάντα μπορούν να εκφραστούν υπό μορφή συναρτήσεων. Επομένως και η Γεωμετρία επίσης. Αρα, όντως δεν υπάρχει Γεωμετρία, υπάρχουν Συναρτήσεις. Ναι.

Επί πλέον, η Αναλυτική Γεωμετρία, την οποία τότε είχα  πρωτοανακαλύψει, τί κάνει; Μας απαλλάσσει από την τυραννία των σχημάτων: Αν έχεις να εξετάσεις αν οι γωνίες είναι οξείες ή αμβλείες, δεν έχεις παρά να εφαρμόσεις τους τύπους και αυτό το οποίο σου βγαίνει, ένα + ή ένα – στο συνημίτονο καθορίζει το είδος της γωνίας. Από κει και πέρα, αλγεβρικά το συν και το πλην είναι της ίδιας μορφής, οπότε συν μία παράσταση, μείον μία παράσταση, είναι πάντα μία παράσταση. Και επομένως δεν έχεις πρόβλημα.

Απαλλαγήκαμε λοιπόν από την τυραννία των σχημάτων. Τί μένει όμως; Μένει το ερώτημα: Μπορεί κανένας να κάνει την οικονομία των σχημάτων;

  • Εδώ υπάρχει μία ιστορική πορεία, η οποία πάλι από τη Γαλλία ξεκίνησε. Έχω πολλά υπέρ της Γαλλίας, αλλά έχω και ορισμένα εναντίον της. Το 1966 έγινε στην πόλη Caen  της Γαλλίας ένα συνέδριο, όπου είπαν: “Είναι καιρός επί τέλους τα μοντέρνα Μαθηματικά, τα οποία από την εποχή του Cantor μέχρι σήμερα – μέχρι τότε δηλαδή, το 1966 – έχουν πάρει μια βασική υπόσταση και διέπουν όλη μας τη δουλειά ως μαθηματικών, αυτών που παράγουμε Μαθηματικά, να μπουν από νωρίς στο σχολείο”. Και αρχίσαμε από τότε μία πορεία η οποία έφερε τη Θεωρία Συνόλων στην πρώτη  Δημοτικού, αν όχι στο Νηπιαγωγείο, και η οποία μεταξύ άλλων άδειασε την Ευκλείδεια Γεωμετρία από τα εκπαιδευτικά προγράμματα. Οι Γάλλοι βέβαια, μέσα σε αυτή την τριακονταετία, έκαναν διάφορες μεταρρυθμίσεις, με πολλές διορθωτικές αλλαγές σε ορισμένα πράγματα που ήταν ολέθρια. Αλλά πέρα από αυτό, το γενικό κλίμα της εποχής ήταν το εξής: Έβλεπες τον φοβερό καθηγητή Τάδε – ονόματα μη λέμε – ο οποίος έγραφε στον πίνακα τύπους, χωρίς κανένα σχήμα. Σε μια στιγμή είχε κάποια αμφιβολία. Γύρναγε την πλάτη του στο ακροατήριο, σχημάτιζε κρυφά στον πίνακα ένα μικρό σχηματάκι, να δει αν το σημείο θα πέσει μέσα ή έξω από την έλλειψη, ούτως ώστε να βάλει θετικό ή αρνητικό πρόσημο στην αντίστοιχη παράσταση. Το έσβηνε, για να μην το δουν. Και γύριζε και έβαζε στον τύπο το σωστό πρόσημο. Τα σχήματα είχαν εξοβελιστεί.

Τί σημαίνει αυτό; Σημαίνει ότι λείπει πλέον το παράδειγμα, το πλαίσιο αναφοράς της Ευκλείδειας Γεωμετρίας από τους Μαθηματικούς, για δεκαετίες θα έλεγα. Δεν είναι πλέον κοινός τόπος, για τους νέους Μαθηματικούς.

Και εδώ επισημαίνω το πρώτο βασικό λογικό άλμα : Είναι άλλο πράμα να ξεπεράσεις την τυραννία των σχημάτων, και άλλο πράμα να εγκαταλείψεις τα σχήματα χωρίς να τάχεις διδαχτεί ποτέ. Γιατί η εγκατάλειψη της τυραννίας των σχημάτων σημαίνει οτι διαθέτεις ισχυρότερες μεθόδους, με τις οποίες μπορείς να τα ταξινομήσεις, να τα μελετήσεις, να δεις τις ιδιότητες που σε ενδιαφέρουν. Να δεις καινούργιες ιδιότητες τις οποίες δεν υποπτευόσουν πριν, και άλλα πολλά. Δεν σημαίνει εγκατάλειψη των σχημάτων. Άλλο το ένα, άλλο το άλλο.

Θα προχωρήσω, λοιπόν, έχοντας αυτό ως πρώτο δεδομένο.

  • Για να μιλήσω τώρα παραπέρα για το ρόλο της Γεωμετρίας, θα δώσω καταρχήν ένα πρόχειρο ορισμό. Έναν ορισμό, ο οποίος αξίζει ό,τι αξίζει: δεν διεκδικώ καμία επιστημολογική ανακάλυψη με αυτόν, αλλά το κάνω για λόγους ευχρηστίας στα πλαίσια αυτής της ομιλίας.

Καλώ Γεωμετρία, τον κλάδο των Μαθηματικών ο οποίος μελετά το χώρο, τα σχήματα, τις σχέσεις μεταξύ των σχημάτων, τις μεταβολές των σχημάτων, ενδεχομένως τις μεταβολές στον χρόνο, δηλαδή τις κινήσεις των σχημάτων, και τις όποιες γενικεύσεις πηγάζουν από αυτό.

Ένα πρώτο που έχουμε να εξετάσουμε, είναι – για να απαντήσουμε στο ερώτημα κατά πόσον είμαι δεινόσαυρος ή όχι, ένα είδος δηλαδή, το οποίο θα εκλείψει με το βιολογικό θάνατο όσων έχουν διδαχτεί Γεωμετρία – να δούμε τις ανάγκες που εξυπηρετεί η Γεωμετρία σε κοινωνικό επίπεδο. Σε επίπεδο, θα έλεγα, κοινωνικής παραγωγής.

Καταρχήν ιστορικά. Όλοι γνωρίζουμε ότι ετυμολογικά Γεωμετρία σημαίνει “μέτρηση της γης”. Οι Αιγύπτιοι είχαν ανάγκη από Γεωμετρία, γιατί πλημμύριζε ο Νείλος και έπρεπε να ξανακατανείμουν τα χωράφια τους κάθε φορά. Η Γεωμετρία αναπτύχθηκε από τους αρχαίους Έλληνες, αναπτύχθηκε στην τεχνολογία της αρχαιότητας με τη μελέτη διαφόρων επιφανειών, καμπύλων, που εξυπηρετούσαν και πολύ τεχνικά προβλήματα, όπως οι αντλίες π.χ. με τους έλικες, η όλη στατική. Ακόμα εξυπηρετούσε τις ανάγκες της Αστρονομίας. Υπήρχαν κανόνες, και όλο το Πτολεμαϊκό σύστημα βασίζεται στους κανόνες ότι όλες οι τροχιές πρέπει να παράγονται από κύκλους. Δυστυχώς οι τροχιές δεν ήταν (και δεν είναι) κύκλοι. Για να εξηγηθούν, επομένως, οι τροχιές των πλανητών, εφευρέθηκε όλοκληρο το σύστημα των κύκλων και των επικυκλίων, διότι η Αστρονομία ήταν κάτι, το οποίο έμπαινε  σαφώς μέσα στην κοινωνική οργάνωση. Χωρίς αυτό να αποκλείει βέβαια ότι και το ηλιοκεντρικό σύστημα αναπτύχθηκε εκείνη την εποχή – και κατά τύχη(;) κάηκαν τα γραπτά του Αρίσταρχου του Σάμιου, ο οποίος το είχε διατυπώσει – αλλά αυτό είναι μια άλλη ιστορία.

Αυτό συνεχίζει. Όλη αυτή η παράδοση ξεπερνά την αρχαία Ελλάδα, η όλη γεωμετρική γνώση, η οποία είναι στην ουσία ταυτόσημη με τη Φυσική, με την έννοια της Μηχανικής. Αναπτύσσεται και με τη βοήθεια του Απειροστικου Λογισμού και με τις νέες ανάγκες οι οποίες υπάρχουν, τη μελέτη των τροχιών, τη βλητική, τα τηλεσκόπια, όλα αυτά. Η Γεωμετρία είναι μέσα στην επιστημονική, στην τεχνολογική παραγωγή. Για να μη μιλήσουμε και για την καθημερινή ζωή.

Μπορoύμε να πούμε ότι η Φυσική αποδεσμεύεται από τη Γεωμετρία με την εμφάνιση των νέων μορφών ενέργειας – νέων για την εποχή εκείνη, του ατμού, του ηλεκτρισμού κτλ. Παρόλα αυτά, ακόμα και σήμερα, στην Κβαντική Φυσική π.χ., η οποία είναι και το πιο προχωρημένο, ας πούμε, στάδιο της Φυσικής, τουλάχιστον ως προς τη μελέτη σε βάθος της δομής της ύλης, μιλάμε για τροχιές ηλεκτρονίων, παρόλο που δεν υπάρχει η δυνατότητα εντοπισμού του ηλεκτρονίου: οι τροχιές δεν είναι τροχιές με την ακριβή έννοια. Τί είναι; Είναι μια αναλογία, δανεική από τη Γεωμετρία, η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και σήμερα. Γιατί; Γιατί η Γεωμετρία είναι το κατεξοχήν επιστημολογικό παράδειγμα, το παράδειγμα αναφοράς, το οποίο μπορείς να το ξεπεράσεις με την έννοια των κυματοσυναρτήσεων, αλλά το οποίο σου δίνει μια προεικόνα έστω και αναλογική. Επομένως το λεξιλόγιο παραμένει δάνειο από την Γεωμετρία.

Ας δούμε τώρα τις ανάγκες που καλύπτει σήμερα η Γεωμετρία. Μπορούμε να πούμε πρώτα απόλα, ότι υπάρχει μια υποχώρηση των καθαρά γεωμετρικών τεχνικών, π.χ. των αναλογικών μεθόδων. Ένα από τα πιο τρανταχτά παραδείγματα είναι ότι πριν από 25 χρόνια οι μηχανικοί κυκλοφορούσαν με τον λογαριθμικό κανόνα στην τσέπη. Από τη στιγμή που βγαίνουν τα ηλεκτρονικά μηχανάκια τσέπης, πέφτει σε αχρηστία η αναλογική μέθοδος, γιατί το ψηφιακό σύστημα σου δίνει όσα ψηφία θέλεις. Το ίδιο συμβαίνει με τα ρολόγια. Μπορεί να υπάρχουν ακόμα ρολόγια τα οποία μιμούνται σε σχήμα τα παλαιού τύπου ρολόγια, αλλά είναι ψηφιακά. Οι μηχανισμοί των οδοντωτών τροχών δεν υπάρχουν, ή υπάρχουν μόνο σαν αντικείμενα συλλογής και όχι σαν αντικείμενα καθημερινής χρήσης. Και έχει καταργηθεί ακόμα και το σχήμα : γράφοντας ψηφιακά την ώρα 08.43 δε χρειάζονται πια οι βελόνες που κυνηγούν η μια την άλλη.

Από την άλλη μεριά, βέβαια, παραμένει η Γεωμετρία οπουδήποτε υπάρχουν κατασκευές. Παραμένει και πιο ανεπτυγμένη. Δηλαδή, από τα απλά σπίτια, τις παραλληλεπίπεδες πολυκατοικίες, στις οποίες δεν μπορεί κανείς να μην αναγνωρίσει ένα τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων (είναι μέσα στη ζωή μας το τρισορθογώνιο σύστημα αξόνων, γιατί όλοι ζούμε ανάμεσα σε τοίχους, ταβάνια και πατώματα), ως τις κατασκευές γεφυρών ή palais de sport, όπου υπάρχουν κρεμαστές καμπύλες ή παραβολικά υπερβολοειδή ως οροφές, πάλι υπάρχει η έννοια της Γεωμετρίας τουλάχιστον ως εφαρμογή. Βέβαια, όπως σε κάθε εποχή, όλα αυτά γίνονται με τις ακριβέστερες διαθέσιμες μεθόδους : δηλαδή σήμερα με τη βοήθεια ηλεκτρονικών υπολόγιστών – και όχι πια με κανόνα και διαβήτη, τις ακριβέστερες για την αρχαιότητα.

Υπάρχει και ένα άλλο στοιχείο στην σημερινή εποχή. Υπάρχει η εισβολή της εικόνας. Στην εικόνα υπάρχουν σχήματα, η εικόνα η ίδια ειναι γεωμετρικό αντικείμενο. Στα τηλεοπτικά κανάλια π.χ. βλέπει κανένας όχι απλώς το λογότυπο του καναλιού, αλλά βλέπει πώς έρχονται τα γράμματα ένα-ένα στροβιλιζόμενα και τοποθετούνται στη θέση τους. Πράγμα που προϋποθέτει ένα πρόγραμμα, που να έχει ενσωματώσει τις καθαρά γεωμετρικές έννοιες της προοπτικής των γραμμάτων, τα οποία κοιτάζει κανείς από λοξά, στριφογυρίζουνε, και κάθονται ως Ε, Ρ κτλ. Άρα, χρησιμοποιείται και εκεί η Γεωμετρία. Γιατί από την στιγμή που υπάρχει επεξεργασία της εικόνας, όσο κι αν αυτή η επεξεργασία γίνεται ψηφιακά, προϋπάρχουν οι κανόνες της Προβολικής Γεωμετρίας, οι οποίες τη διέπουν.

Επομένως και σήμερα στην κοινωνική παραγωγή η Γεωμετρία είναι απαραίτητη. Παρόλο, δηλαδή, που ορισμένες τεχνικές της Γεωμετρίας έχουν υποχωρήσει, ο χειρισμός – η χαλιναγώγηση θάλεγα – του χώρου, των σχημάτων, των κινήσεων, είναι βασικό γνώρισμα της σημερινής τεχνολογίας, είναι βασικό γνώρισμα της σημερινής κοινωνικής παραγωγής.

Έχει ανάγκη η κοινωνία από την Γεωμετρία.

 *          Ας περάσουμε τώρα στο ατομικό επίπεδο : Τί είναι για τον κάθε άνθρωπο η Γεωμετρία;

Η Γεωμετρία καταρχήν προϋπάρχει ως υπόβαθρο. Κινούμαστε ως έμβια όντα μέσα στο χώρο των τριων διαστάσεων, έχουμε επομένως δοσοληψίες μαζύ του, όπως και με όλο μας το περιβάλλον : δεχόμαστε επιδράσεις απ΄αυτό και με τη σειρά μας επιδρούμε πάνω του. Και ως όντα λογικά, σκεφτόμαστε και κατανοούμε (ή τουλάχιστον προσπαθούμε) το περιβάλλον και τη σχέση μας μ’αυτό – άρα και με το χώρο.

Σε κάθε άτομο, η σχέση με το χώρο βιώνεται απο πολύ νωρίς, απο τη βρεφική κιόλας ηλικία. Είναι αρκετά γνωστά, και στους μή ειδικούς όπως εγώ, τα αποτελέσματα του Piaget, που εξετάζουν την όλη εξοικείωση με το χώρο: σε μια πρώτη φάση στο αισθητικο-κινητικό επίπεδο, σε μια δεύτερη στο συνειδητό επίπεδο. Δηλαδή, πριν το παιδί κάνει λογικές σκέψεις, την αίσθηση του χώρου την έχει. Από ένα σημείο και πέρα, τα ερεθίσματα αυτά εισρέουν στον εγκέφαλο και σχηματίζουν νοητικές κατηγορίες. Τις έννοιες του μέσα και του έξω, κτλ. Υπάρχει κι ένα τρίτο στάδιο στο οποίο προχωράμε. Είναι η οργάνωση των εννοιών ως προς τις διαπλοκές που έχουν μεταξύ τους. Απ’ όσο γνωρίζω τουλάχιστον, σε όλες τις γλώσσες υπάρχουν έννοιες και συλλογισμοί που αφορούν το χώρο, σε όλες τις γλώσσες επίσης υπάρχει λογική δομή. Και κατά μία άποψη, δεν είναι τυχαίο ότι, επειδή έχουμε ως ανθρώπινα όντα αυτές τις ιδιότητες, η Γεωμετρία ήταν και ο πρώτος κλάδος γνώσης, ο οποίος οργανώθηκε επιστημονικά.

  • Θέλω λοιπόν τώρα, να εξετάσω λιγάκι τί σημαίνει Γεωμετρία ως επιστήμη. Και πάλι θα δώσω ένα πρόχειρο ορισμό, λειτουργικό, για τα πλαίσια αυτής της ομιλίας. Θεωρώ επιστήμη ένα οργανωμένο σύστημα γνώσεων, το οποίο είναι πρώτα – πρώτα ανεξάρτητο από τον φέροντα. Είναι δηλαδή μεταδόσιμο, είναι κάτι το οποίο δεν έχει να κάνει με την κοινωνική θέση, στο ιερατείο π.χ.αυτού ο οποίος εκφέρει την γνώση ή το αποτέλεσμά της, αλλά είναι κάτι το οποίο ο καθένας μπορεί, έχει τα φόντα, με την κατάλληλη προσπάθεια, μελέτη, κτλ., να  οικειοποιηθεί.

Δεύτερο, πρέπει να έχει μία λογική συνοχή. Πρέπει να είναι σε θέση να διατυπώνει προβλήματα στα οποία να υπάρχει η δυνατότητα της απάντησης του τύπου ναι, οχι, δεν ξέρω, δεν είναι δυνατόν να υπάρχει απόδειξη, το πρόβλημα δεν ειναι σωστα διατυπωμενο κτλ.

Και τρίτον, πρέπει να υπάρχει επίγνωση του αντικειμένου με το οποίο ασχολείται : Ποιά ερωτήματα μπορούν να τεθούν μέσα στο σύστημα, ποιά όχι, και ποιά είναι οριακά.

Αν κοιτάξουμε κάτω από αυτό το πρίσμα τη Γεωμετρία, από τη στιγμή που το αντικείμενο με το οποίο ασχολείται είναι κοινό υπόβαθρο πολιτισμικό, θάναι εύκολο να συμπεράνουμε ότι, αν όχι η πρώτη, τουλάχιστον μέσα στους πρώτους επιστημονικούς κλάδους που έμελλε να αναπτυχθούν, θάταν η Γεωμετρία.

Και αρχίζουμε από τον Ευκλείδη. Το βασικό πρόβλημα στον Ευκλείδη είναι η διατύπωση του θεωρητικού συστήματος. Ήδη ήταν γνωστά σκόρπια πράγματα. Το καινούργιο στα Στοιχεία του Ευκλείδη είναι: τί, βάσει τίνος; Τί είναι τα αξιώματα και τί είναι τα θεωρήματα. Τί βάζουμε στην αρχή και τί βάζουμε στο τέλος.

Πολλά μπορεί να πει κανείς για τα Στοιχεία, και πολλά έχουν ειπωθεί. Υπάρχουν πράγματα μέσα, τα οποία όντως σηκώνουν κριτική. Π.χ. ο ορισμός της ευθείας είτε δοθεί, είτε δεν δοθεί, δεν έχει καμιά σημασία, διότι δεν παρεμβαίνει καθόλου μετέπειτα. Έχουμε πάντως εκεί πέρα το πρώτο αξιωματικό σύστημα μέσα στα Μαθηματικά, το οποίο ήταν και το μόνο μέχρι πριν από 200 χρόνια περίπου που άρχισε να γίνεται συστηματοποίηση και σε άλλους κλάδους.

Το τί, βάσει τίνος, είναι το ένα. Από κει και πέρα είναι το “τί είναι μετά”. Γιατί είναι τόσα πολλά τα προβλήματα τα οποία γεννιούνται από την επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος, είναι άπειρος ο πλούτος των ερωτημάτων τα οποία μπορούν να τεθούν, και έχουμε όλη την πορεία από την κατασκευή των κανονικών πολυέδρων, στα οποία καταλήγουν τα Στοιχεία του Ευκλείδη, μέχρι την μελέτη π.χ. των ολόμορφων πολλαπλοτήτων και πολλά άλλα : δεν έχει νόημα να κάνουμε μιαν απαρίθμηση αυτή τη στιγμή.

Η ουσία είναι οτι ανάμεσα στα καινούργια ερωτήματα, που ξεφυτρώνουν σαν τα κεφάλια της Λερναίας Υδρας, υπάρχουν και μερικά τα οποία υπερβαίνουν τα αρχικά δεδομένα, οδηγούν σε κατασκευή νέων νοητικών κατηγοριών. Αυτό που αποκαλούμε “πρόοδο” με την καλώς εννοούμενη έννοια της λέξης.

Θά δώσω ορισμένα τέτοια παραδείγματα. Ένα από αυτά είναι η θεωρία των λόγων του Ευδόξου, που οδηγεί στον απειροστικό λογισμό, και η οποία, διατυπωμένη σε σύγχρονη Μαθηματική γραφή, δεν είναι τίποτε άλλο παρά ειδικές ακολουθίες Cauchy, οι οποίες συγκλίνουν από πάνω και από κάτω σε μη ρητούς λόγους, δηλαδή σε πραγματικούς αριθμούς.

Υπάρχει το πέμπτο αίτημα του Ευκλείδη και όλη η προσπάθεια που έγινε για την απόδειξη ή την αναίρεση της ύπαρξης μιας μοναδικής παραλλήλου, το οποίο οδηγεί σε χιλιάδες πράγματα. Οδηγεί καταρχήν στην απαλλαγή της Γεωμετρίας (και των Μαθηματικών γενικότερα) από το υλικό υπόβαθρο από το οποίο ξεκίνησε, στον απογαλακτισμό – ή την ενηλικίωσή της.

Μέχρι τότε η Γεωμετρία ήταν συνδεδεμένη με τη μέτρηση των επιφανειών, των όγκων κτλ. Από κει και πέρα, παύει νάναι, παρόλο που ο Alexandroff π.χ. σε μια προσπάθεια υποστήριξης της Γεωμετρίας του Lobachevsky (σε ένα βιβλίο που έχει μεταφραστεί στα ελληνικά), μέσα σε όλα τ’άλλα, δίνει το επιχείρημα ότι όντως η Γεωμετρία του Lobachevsky ίσως είναι καλύτερη σε κοσμολογικό επίπεδο για την περιγραφή του Σύμπαντος, γιατί το Σύμπαν έχει καμπυλότητα. Μα δεν είναι αυτό το οποίο παίζεται! Η Γεωμετρία του Lobachevsky είναι ορθή. Υπάρχει μαθηματικό μοντέλο το οποίο την υλοποιεί, δεν είναι δηλαδή κενή περιεχομένου, κι αυτό αρκεί. Το αν ταιριάζει καλύτερα στη δομή του Σύμπαντος, δεν αποτελεί δικαιολογία για την ύπαρξή της – είναι απλώς ένα κίνητρο για κάποιον ν’ ασχοληθεί μαζύ της.

Από ένα σημείο και έπειτα, από την χειραφέτηση των Μαθηματικών από την εφαρμογή τους, η εφαρμογή δεν αποτελεί δικαιολογία. Βέβαια πάνω σε αυτό υπάρχει και η γνωστή ρήση του Hilbert ότι “δεν με ενδιαφέρει αν μιλάμε για τραπέζια, καρέκλες και ποτήρια μπύρας, ή επίπεδα, ευθείες και σημεία, φτάνει αυτό το οποίο λέμε να έχει λογική συνοχή”. Είναι η κυρίαρχη σήμερα σκέψη στα Μαθηματικά. Από κει και πέρα, όποιος θέλει παίρνει το μοντέλο και το εφαρμόζει.

Βέβαια αυτή τη φοβερή – φοβερή με όλες τις έννοιες της λέξης – συμβολή της Γεωμετρίας στη χειραφέτηση των Μαθηματικων, την πληρώνει η ίδια. Την πληρώνει διότι παύει να υπάρχει ως αυτόνομος κλάδος, διότι δεν ενδιαφερόμαστε για τις επιφάνειες, ενδιαφερόμαστε πλέον για τα υποσύνολα του R3, όπως είχαμε πει στην αρχή, χωρίς βέβαια να δίνουμε απάντηση στο γιατί ενδιαφερόμαστε γιαυτά τα συγκεκριμένα υποσύνολα τα οποία αντιστοιχούν σε επιφάνειες. Αυτό δεν είναι μαθηματικό θέμα να απαντηθεί : είναι μετα-μαθηματικό…

Θα μπορούσα να αναφερθώ και σ’ άλλες περιπτώσεις που ξεπερνούν το αρχικό πρόβλημα. Π.χ. ο τύπος του Euler που συνδέει τις κορυφές, τις έδρες και τις ακμές ενός τυχαίου πολυέδρου, χωρίς όμως να ισχύει πάντα, μετά από διάφορες περιπέτειες καταλήγει στην διατύπωση της Ομολογικής Αλγεβρας από τον Poincaré. Δε νομίζω όμως οτι είναι απαραίτητο.

Κι αυτό, επειδή αυτές οι καταστάσεις, των προβλημάτων δηλαδή που ξεπερνούν τα αρχικά δεδομένα, δεν χαρακτηρίζουν μόνο τη Γεωμετρία : σε κάθε κλάδο των Μαθηματικών, και γενικότερα σε κάθε επιστήμη, μπαίνουν κάποτε ερωτήματα τόσο κρίσιμα ωστε να οδηγούν σε ριζική επαναδιατύπωση του θεωρητικού πλαισίου απο το οποίο πηγάζουν.

  • Θέλω, επομένως, να εξετάσω σε τί διαφοροποιείται η Γεωμετρία μέσα στα Μαθηματικά.

Ενα απο τα βασικά χαρακτηριστικά των Μαθηματικών είναι η γραμμικότητα, η γραμμικότητα με την έννοια της διάταξης. Το κατεξοχήν αντικείμενό τους, οι αριθμοί, ακέραιοι ή πραγματικοί, είναι διατεταγμένο σύνολο,. Αλλά και η όλη διατύπωσή τους είναι γραμμική, επειδή γραμμικός είναι ο χρόνος, γραμμικός και ο λόγος, η ομιλία. Κάθε εκφώνηση, κάθε απόδειξη, είναι λέξεις στη σειρά, η μια μετά την άλλη. Ακόμα κι αν υπάρχει συσχέτιση με τα προηγούμενα ή με τα επόμενα, αυτή η γραμμικότητα υπάρχει. Οσα πήγαινε-έλα και να κάνει κανείς σ’ έναν πολύπλοκο συλλογισμό, θα τον διατυπώσει γραμμικά, και γραμμικά θα τον διαβάσει ή θα τον ακούσει ο άλλος. Αναγκαστικά.

Και καθώς στα Μαθηματικά εργαλείο και αντικείμενο ταυτίζονται, αυτή η γραμμικότητα χρησιμοποιείται κατα κόρον. Στέλνεις ένα σύνολο, με διάφορους τρόπους, πάνω στους πραγματικούς ή τους ακέραιους αριθμούς, κι απο κεί αντλείς συμπεράσματα για το αρχικό σύνολο. Ετσι παίρνεις, ας πούμε, την έννοια του μέτρου, ή το θεώρημα του Gödel.

Ας αναφερθούμε λίγο στο τελευταίο, το θεώρημα δηλαδή που λέει πως μια μαθηματική θεωρία δεν μπορει να είναι πλήρης. Σχηματικά, μπορούμε να αναγάγουμε τις προτάσεις της θεωρίας, απαριθμώντας τις κατάλληλα, σε κάποια διάταξη των πραγματικών αριθμών, και βάσει αυτού να αποδείξουμε, χρησιμοποιώντας διάφορους κανόνες αυτοαναφοράς (αριθμημένους κι αυτούς), οτι υπάρχει κάποιο θεώρημα το οποίο δεν μπορεί να πει κάτι για τον αριθμό του. Γιατί ειδεμη θα μπαίναμε σε διάφορα διαγώνια λογικά άτοπα.

Επομένως υπάρχει, και χρησιμοπείται, αυτή η γραμμικότητα. Κι από κει και πέρα ας δούμε πώς αυτή η γραμμικότητα εκφράζεται στην λύση ενός μαθηματικού προβλήματος.

Αυτό που λέω στους φοιτητές μου, είναι ότι υπάρχει ένας και μοναδικός τυφλοσούρτης για να λύσω ένα μαθηματικό πρόβλημα : Τί μας δίνουν, τί μας ζητούν και ποιός είναι ο δρόμος για να πάμε από το ένα στο άλλο. Φυσικά αυτό δεν είναι τυφλοσούρτης, άμα το κοιτάξει κανένας από πιο κοντά, γιατί έχει να κάνει με πολλές επιλογές. Σημαίνει απλά οτι πρέπει να ξέρουμε τί κάνουμε κάθε φορά.

Το τρίτο σκέλος του τυφλοσούρτη είναι ο δρόμος. Το γραμμικό σκέλος, αυτό είναι ο δρόμος. Ενα παράδειγμα; Μία παραγώγιση μιας πολύπλοκης παράστασης. Τί κάνεις; Χωρίζεις τους όρους. Παραγωγίζεις κάθε προσθετέο, μετά παραγωγίζεις τα γινόμενα, μετά εφαρμόζεις την σύνθεση συναρτήσεων, παραγωγίζεις λογάριθμο του ημιτόνου της τετραγωνικής ρίζας του τάδε, κτλ. Στο τέλος, μετά από μια σειρά παιδευτικών πράξεων – ίσως όχι και τόσο παιδευτικών αλλά κοπιαστικών πράξεων – κάπου καταλήγεις.

Σε τέτοιου τύπου προβλήματα, η σειρά με την οποία θα κάνεις τις πράξεις είναι χοντρικά δεδομένη. Τα προβλήματα της Άλγεβρας στη δευτεροβάθμια εκπαίδευση ειναι αυτού του τύπου. Ποιές ταυτότητες θα εφαρμόσεις; Είναι γνωστές οι ταυτότητες. Ποιά ταιριάζει, ποιά δεν ταιριάζει, πώς θα αναπτύξουμε αν είναι να πάμε από γινόμενο σε άθροισμα, από άθροισμα σε γινόμενο κτλ. Η επίλυση είναι σχετικά τυποποιημένη.

Στη Γεωμετρία δεν είναι δεδομένη η διάταξη του τί θα κάνεις. Εάν στρίψεις ένα σχήμα και το μετατοπίσεις μετά, δεν είναι το ίδιο σαν να το μετατοπίσεις πρώτα και να το στρίψεις μετά. Αν θα επιλέξεις από το τάδε ή το τάδε σημείο να φέρεις την κάθετο ή την παράλληλη, δεν είναι δεδομένο του προβλήματος. Πρέπει να στίψεις το μυαλό σου για να το βρεις. Αυτό ήτανε και η κρυφή γοητεία, στο Γυμνάσιο όταν ήμουνα, των ασκήσεων της Γεωμετρίας απέναντι στις ασκήσεις της Άλγεβρας. Ότι η Άλγεβρα, αν ήξερες τους τύπους, έβγαινε. Η Γεωμετρία, ποτέ δεν ήσουν σίγουρος. Και άμα το λύσεις, η απόλαυση είναι μεγαλύτερη. Και η απόλαυση έχει μία αξία, η οποία σε χρήμα δεν αποτιμάται. Έχει μία αξία αυτή καθεαυτή. Η διάταξη δεν είναι δεδομένη, το μυαλό πρέπει να δουλέψει πιο πολύ.

Αυτή είναι μία φράση κλειδί. Και πάνω σε αυτό ορισμένα σχόλια :

Πρώτο σχόλιο : Οι υπολογιστές για να παραστήσουν γεωμετρικά σχήματα καταλήγουν σε ψηφιακές μεθόδους, όπου όλα είναι στη σειρά. Η οθόνη χωρίζεται σε σειρές και κάθε σειρά σε κουκίδες, τα pixel ονομαζόμενα. Εξαντλούμε την πρώτη σειρά, τη δεύτερη σειρά, πάρα πολλές, 1000×1000 κουκίδες ας πούμε, και σχηματίζουμε μία εικόνα pixel προς pixel. Αλλά για να φθάσουμε μέχρι εκεί, το λογισμικό προϋποθέτει γνώση των κανόνων της Γεωμετρίας που χρησιμοποιούνται, για να ξέρεις αν η τάδε κουκίδα θα βγει άσπρη, μαύρη ή κόκκινη – ή θ’αναβοσβήνει. Η γραμμικοποίηση δεν είναι τίποτε άλλο παρά μία μετάφραση του σχήματος – της θεωρητικής Γεωμετρικής έννοιας – σε σειρά αριθμών, για να τις διαβάσει ο υπολογιστής και να τις μεταφράσει πάλι σε εικόνα με τη σειρά του. Έχουμε ένα πήγαινε-έλα. Το ψηφιακό επεμβαίνει διότι ο υπολογιστής μόνο ψηφιακά καταλαβαίνει.

Δεύτερο σχόλιο : Ας μου επιτραπεί σχόλιο έξω-μαθηματικό. Έχει να κάνει με την έννοια της διάταξης, βέβαια. Υπάρχει η διάταξη των ακεραίων αριθμών, όπως και των πραγματικών αριθμών. Υπάρχει μία φυσική, δεδομένη διάταξη. Υπάρχει μία ιεραρχία στους αριθμούς.

Υπάρχει επίσης μία ιεραρχία στην κοινωνία, στην όποια κοινωνία, στην κάθε κοινωνία. Υπάρχει μια ιεραρχία. Πρέπει να τη σεβόμαστε αυτή την ιεραρχία. Πρέπει να μην την ανατρέπουμε αυτή την ιεραρχία. Είναι καλύτερο να μαθαίνουμε να σκεφτόμαστε γραμμικά. Να μην περνάμε ανατρεπτικές ιδέες. Να αλλάξουμε τη διάταξη των αριθμών και να βάλουμε το 3 πριν το 2 ! Από πού κι ως πού;

Βέβαια υπάρχει κάποιο παράδοξο σ’αυτή την αναλογία, γιατί κάθε αριθμός έχει ανώτερό του, ενώ κάθε άνθρωπος δεν έχει. Είναι πεπερασμένο το πλήθος των ανθρώπων. Φτάνεις στην κορυφή και πού είναι ο ανώτερος;

Παρόλα αυτά, το ιδεολόγημα δουλεύει. Ποιό ιδεολόγημα, εξάλλου, δείλιασε ποτέ μπροστά σ΄ενα λογικό παράδοξο; Σκασίλα του!

Ε, λοιπόν, δεν υπάρχει δεδομένη διάταξη στην Γεωμετρίαγιαυτό δεν είμαστε δέσμιοι μιας a priori ιεραρχίας. Την ιεραρχία του προβλήματος την κατασκευάζουμε ανάλογα με τις ανάγκες του προβλήματος. Γι αυτό, εξωμαθηματικά, σαν πολίτης, η Γεωμετρία μου πάει καλύτερα. Πρώτα θα κοιτάξεις το σημείο Α και μετά το Β. Και αν δεν σε βολεύει θα κοιτάξεις το Β και μετά το Α. Και τελείωσε. Δεν είναι το Α Πρωθυπουργός, το Β αστυνομικός και το Γ οδηγός, ξέρω και εγώ, τρόλεϋ.

  • Διατύπωσα, επομένως, ορισμένα πράγματα για την Γεωμετρία. Ας δούμε τώρα για την Γεωμετρία στην εκπαίδευση.

Εχουμε δύο πράγματα : την εκπαίδευση που θα διαμορφώσει ειδικούς, επιστήμονες, και την εκπαίδευση των απλών ανθρώπων.

Απ’ όσα είπα, για μεν την πρώτη, την εκπαίδευση των επιστημόνων στις θετικές επιστήμες, διατείνομαι ότι το επιστημολογικό παράδειγμα της Γεωμετρίας είναι οικουμενικότερο, ευρύτερο, πλουσιότερο από άλλα. Εμπεριέχει τη διάταξη. Δεν είναι όμως δέσμια της διάταξης. Εμπεριέχει το κοινό υπόβαθρο της ανθρώπινης εμπειρίας : την αίσθηση του χώρου. Παρέχει τις προϋποθέσεις σ’ έναν επιστήμονα να οργανώσει τον χώρο ο οποίος τον περιβάλλει σε απλά σχήματα, σε συντεταγμένες κτλ, για να μπορέσει μετά να οργανώσει και την κατασκευή μιας γέφυρας, ενός πυραύλου, ενός αεροπλάνου, στο οποίο υπεισέρχονται παρά πολλά στοιχεία και χρειάζεται μία συνθετική ικανότητα. Η πρώτη συνθετική ικανότητα βγαίνει από τη Γεωμετρία. Ένα το κρατούμενο.

Γιατί όμως ο απλός μαθητής να μαθαίνει για τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα; Αυτό είναι ένα ψεύτικο πρόβλημα. Πολλά τέτοια γιατί μπορεί να υπάρχουν. Γιατί καταρχήν να μαθαίνει για την παράγωγο; Θα του χρειαστεί η παράγωγος στην καθημερινή ζωή; Στην πωλήτρια του super market χρειάζεται να ξέρει να παραγωγίζει; Ούτε το εγγεγραμμένο τετράπλευρο, ούτε η παράγωγος της χρειάζεται.

Αλλά δεν είναι μόνο τα Μαθηματικά που δεν χρειάζονται. Γιατί π.χ. να μαθαίνει το τάδε ποίημα, γιατί να μαθαίνει τον τύπο CaCO3 του ανθρακικού ασβεστίου, γιατί να μαθαίνει την ναυμαχία του Αρτεμησίου, γιατί να μαθαίνει ποιός ήταν ο Ναρσής (για τον οποίο εξάλλου δεν αναφερόταν ότι ήταν και ευνούχος, πράγμα που θα μπορούσε να γεννήσει και υποψίες : τί ήταν και τί ρόλο είχαν οι ευνούχοι σε εκείνη την κοινωνία;). Γιατί να τα μαθαίνει όλα αυτά; Γιατί υπάρχει εκπαίδευση;

Άρα το ερώτημα είναι γιατί να μαθαίνει το εγγεγραμμένο τετράπλευρο παρά την παράγωγο π.χ., αυτό θα ήταν το σωστό ερώτημα. Νομίζω ότι αυτό απαντήθηκε περίπου : Γιατί η Γεωμετρία ειδικότερα και τα Μαθηματικά γενικώτερα, σωστά διδαγμένα – και πάλι θα ανοίξω μια τελευταία παρένθεση, θα παραλείψω το ρήμα της φράσης, θα σταματήσω τη φράση μου. Τί εννοώ σωστά διδαγμένα;

Τα Μαθηματικά ως ανθρώπινη δραστηριότητα είναι επίλυση προβλημάτων. Σε οποιοδήποτε επίπεδο γνώσης και να βρίσκεται ένα άτομο, όταν κάνει Μαθηματικά, κάνει έρευνα. Ψάχνει να δει τί έχει, ψάχνει να δει πώς θα φτάσει εκεί που θέλει να φτάσει, ή πού ενδεχομένως θα φτάσει. Με αυτά που έχεις τί μπορείς να κάνεις; Ερευνητική δραστηριότητα είναι η κάθε ενασχόληση με τα Μαθηματικά. Σε αντίθεση με την αποστήθιση τύπων. Όταν, λοιπόν, λέω “σωστά διδαγμένα” σημαίνει ότι ο δάσκαλος και η κατάσταση στην οποία ο δάσκαλος ωθεί τον μαθητή είναι, όχι απλώς να εφαρμόζει τους τύπους, αλλά να έχει επίγνωση γιατί εφαρμόζει τον έναν τύπο και όχι τον άλλο. Να μπορεί να βάλει το μυαλό του να δουλέψει. Αυτό σημαίνει – χωρίς νάχω να δώσω σε αυτά συμβουλές σε ανθρώπους οι οποίοι καθημερινά έχουν αυτό το πρόβλημα και οι οποίοι είναι πιεσμένοι από ένα αναλυτικό πρόγραμμα, το οποίο δεν μπορούν να βγάλουν – μιλάω όμως δεοντολογικά, ότι η ορθή διδασκαλία των Μαθηματικών είναι προφανώς να αναγκάσεις τον άλλο να στίψει το μυαλό του κι όχι να αποστηθίσει. Γι’ αυτό η Γεωμετρία, σωστά διδαγμένη, ασκεί το μυαλό.

Και θα τελειώσω με το εξής απόφθεγμα, ή με το εξής ερώτημα, αν θέλετε, υπό μορφή αποφθέγματος. Ή απόφθεγμα, υπό μορφή ερωτήματος.

Τα παπούτσια και τα αυτοκίνητα διαφέρουν από το μυαλό και την ελευθερία του λόγου σε τί; Τα πρώτα φθείρονται όσο περισσότερο τα χρησιμοποιεί κανείς. Τα δεύτερα φθείρονται όσο περισσότερο δεν τα χρησιμοποιεί.

130 Σχόλια προς “Γεωμετρίας εγκώμιον (Μνήμη Βένιου Αγγελόπουλου)”

  1. Πολύ ωραίο! Με κάτι τέτοια παραλίγο να άλλαζα δέσμη στη δευτέρα Λυκείου…

  2. Γοητευτική εξομολόγηση, ιδιαίτερα για μας τους φυσικομαθηματικούς εκπαιδευτικούς.

  3. nikiplos said

    Καλημέρα. Μεγάλο άρθρο, με εξειδικευμένη ορολογία που πρέπει να ενδιαφέρει κάποιον ειδικά για να υπεισέλθει σε λεπτομέρειες. Στο ζήτημα του υπερ Γεωμετρίας, έχω να παρατηρήσω το εξής:

    Η Ευκλείδια Γεωμετρία διδάσκει πολλά πράγματα, ωστόσο εκείνο που αξεπέραστα διδάσκει είναι η βαρύτητα της απόδειξης. Είναι άλλο πράγμα η απόδειξη ενός αλγεβρικού τύπου, κι αυτό απόδειξη είναι, ωστόσο δεν εμπεριέχει την αυταπάτη του σχήματος, την φενάκη της διαισθητικής κρίσης από μια εικόνα. Αντίθετα η Γεωμετρία, είναι η πεμπτουσία της εικόνας. Ένα σχήμα μπορεί να παραπλανά λίγο, ναι τα τρίγωνα αυτά φαίνονται να είναι ίσα, ωστόσο πρέπει να το αποδείξεις. Και η απόδειξη, ο εθισμός μιας κοινωνίας σε αυτήν, είναι που δημιουργεί και την ορθή ηθική ιεραρχία σε ένα πλαίσιο του στυλ: καλά τα λέει ο τάδε, ο δείνα όμως απέδειξε τον ισχυρισμό του.

    Και δεν είναι μόνο η βαρύτητα της απόδειξης αλλά η χρησιμότητά της. Η κοινωνία πρέπει «εθιστικά» να κατανοήσει και να εμπεδώσει πως η βάσανος της απόδειξης βαρύνει μόνο εκείνον που ισχυρίζεται κάτι, κι όχι εκείνους που αμφισβητούν ή διέπονται από έναν σκεπτικισμό απέναντι σε αυτόν που διατυπώνει κάτι. Επομένως είναι σημαντική και η ανάγκη της απόδειξης ενός ισχυρισμού και κυρίως ποιός πρέπει να το κάνει.

    Ένα άλλο επιχείρημα είναι η πρακτικότητα της γεωμετρίας στην καθημερινή ζωή, αφού άπτεται σχημάτων, σχήματα δλδ που χρησιμοποιούμε για να σχεδιάσουμε χρηστικά αγαθά: από ντουλάπες, σερβάν, καρέκλες, τραπέζια έως αεροσκάφη. Κι ας μην πάμε στα πολύπλοκα, ας μείνουμε στα απλά:
    -Ακούω μηχανικούς δυστυχώς να λένε 33×33 μέτρα το στρέμμα κι όχι ρίζα του 1000.
    -Βλέπω συχνά και μηχανικούς δυστυχώς στο πεδίο, να μην μπορούν πρακτικά να γράψουν μια ορθή γωνία, με απλά υλικά.
    -Βλέπω τεχνίτες να μην μπορούν να γωνιάσουν ένα έπιπλο (στην καλύτερη περίπτωση) αλλά και ένα κτήριο (στην χειρότερη).

    Κι αν ήταν και στην παρέα μας εκπρόσωποι της άγνωστης φάρας των τοπογράφων, αυτοί να δούμε τι θα έλεγαν…

  4. Reblogged στις "Δημόσιος Χώρος Γ. Ρέντζος".

  5. ΓΤ said

    Αποσταγματική Γεωμετρία

  6. sarant said

    Καλημέρα, ευχαριστώ πολύ για τα πρώτα σχόλια!

  7. Νέο Kid said

    «και των epικυκλίων…» στα πολύ γρήγορα λόγω πίεσης εργασίας…
    Διόρθωσε Νικοκύρη σε » και των επίκυκλων (ή επικύκλων;) οι επίκυκλοι.

  8. mazianos said

    Το επίμετρο άκρως διδακτικό, χαρακτηριστικό της ποιότητας του ανδρός.
    Είχα την τύχη να τον παρακολουθήσω ως ακροατής όταν κατέθετε με παρρησία ως μάρτυς σε γνωστή πολιτική δίκη.
    Όλοι γνωρίζουμε την ταλαιπωρία που υπέστη από τους πραιτωριανούς της υπερδύναμης για την ίδια αιτία.
    Σημαντική προσωπικότητα.

  9. Νέο Kid said

    0. «..ο τύπος του Euler που συνδέει τις κορυφές, τις έδρες και τις ακμές ενός τυχαίου πολυέδρου»
    Kωνσταντίνου + Ελένης= Άγιοι και οι δύο. Κ+Ε=Α+2
    ΕΥΛΟΓΗCON!

  10. atheofobos said

    πριν από 25 χρόνια οι μηχανικοί κυκλοφορούσαν με τον λογαριθμικό κανόνα στην τσέπη.

    Πριν από περισσότερα από 25 χρόνια, θυμάμαι τους δύο μετέπειτα κουμπάρους μου, φοιτητές τότε του Πολυτεχνείου στους πολιτικούς μηχανικούς, να βγάζουν με μεγάλη υπερηφάνεια τον κανόνα τους από την τσέπη, τελευταία λέξη της τεχνολογίας τότε, για να βγάλουν το τι έπρεπε να πληρώσει ο καθένας μας μόνος ή ως ζευγάρι στις ταβέρνες που τρώγαμε!
    Βέβαια με απλή μπακαλική είχα βγάλει πριν από αυτούς τι αναλογεί στον καθένα!

  11. Νέο Kid said

    Eλαφρά η γαία καταρχάς!

    Είναι γεγονός ότι η γεωμετρία μπαίνει πλέον σε δεύτερη μοίρα στην εκπαίδευση, γενικά.
    Κάποια είδη της δε, όπως η εξαιρετική «Παραστατική γεωμετρία» (την εμπνεύστηκε ένας Γάλλος μέσα στην ψειρού!) (εξαιρετική άσκηση για να ξυπνάει τα κοιμισμένα μυαλά!) έχουν εξαφανιστεί τελείως. (ξεπεράστηκε με τα CAD)

  12. Πουλ-πουλ said

    Καποτε μας είχαν βάλει ένα δύσκολο πρόβλημα μηχανικής για την κίνηση ενός σώματος σε ελλειψοειδή τροχιά. Σηκώθηκε ο σπασίλας της τάξης και το έλυσε γεμίζοντας τον πίνακα με εξισώσεις, οπότε ο διπλανός μου ανεφώνησε: Υπάρχει απλούστερη λύση! Και πράγματι, αν σκεφτόσουν ότι η έλλειψη είναι κωνική τομή, και ανήγαγες το πρόβλημα σε κύκλο, το πρόβλημα λυνόταν σε πέντε γραμμές.
    Να θυμηθούμε επίσης ότι χωρίς αντίληψη της γεωμετρίας, όχι μηχανικός, αρχιτέκτονας, ζωγράφος, αλλά ούτε καν καλή μοδίστρα μπορείς να γίνεις.

  13. ΓΤ said

    9@

    🙂 Ναι, ρε θηρίο!

  14. ΣτοΔγιαλοΧτηνος said

    Καλημέρα. Επειδή ως τερατώδης χοντρός πιάνω πολλή γεωμετρία (και ογκομετρία) σήμερα παίρνω ρεπό και σας αφήνω το νήμα να κάνετε τους υπολογισμούς σας ελεύθερα.

  15. odinmac said

    Η συναρπαστική γεωμετρία του Καναλιού στη Φλάνδρα:


    Théo van Rysselberghe (1862-1926), Canal in Flanders (1894), oil on canvas, 152.4 x 203.2 cm, Private collection.

  16. odinmac said

    Γεωμετρικοί ρυθμοί στην φύση:


    Claude Monet (1840-1926), Poplars on the Bank of the Epte (1892), oil on canvas, 88 × 93 cm, Private collection. Wikipaintings.org


    Claude Monet (1840-1926), Poplars on the Bank of the Epte, Autumn (1891) W1297, oil on canvas, 100 x 65 cm, Museum of Fine Arts, Boston.

  17. Παναγιώτης Κ. said

    Αφιερώνεται στους

    Παντελή Ρόκο

    Παύλο Κολλάρο

    Denis Clodic

    που μ’έμαθαν Γεωμετρία.

    Η αφιέρωση αυτή είναι το αποτέλεσμα της μετριοφροσύνης του συγγραφέα.
    Οι δάσκαλοι κατά κανόνα «σπέρνουν». Αυτό όμως δεν αρκεί.
    Πρέπει και το…έδαφος να είναι εύφορο!
    Εύφορο έδαφος λοιπόν υπήρξε ο συγγραφέας και επιπλέον, η επιστήμη του, του προσπόρισε και συγκεκριμένο ήθος.

  18. Πουλ-πουλ said

    15, 16
    Αγαπητέ Odinmac, λόγω του θέματος, κυβιστικά έργα περιμέναμε, άντε και λίγο Klee ή Kandinsky.

  19. Νέο Kid said

    «Εάν στρίψεις ένα σχήμα και το μετατοπίσεις μετά, δεν είναι το ίδιο σαν να το μετατοπίσεις πρώτα και να το στρίψεις μετά.»
    Χμμ… δεν καταλαβαίνω ακριβώς το πλαίσιο και το σκεπτικό που είχε στο μυαλό του ο μακαρίτης, αλλά αυτό γενικά δεν ισχύει. (π.χ οι αφινικοί μετασχηματισμοί)

  20. loukretia50 said

    » … αεί γεωμετρεί » μεγαλώσαμε μ΄αυτό ακόμα κι αν θυμόμαστε τίποτε άλλο από γεωμετρία!

    Πολύ ενδιαφέρον άρθρο κι ας είναι εξειδικευμένο.
    Απώλεια σημαντική ο Δάσκαλος.

    Η γεωμετρία έπαιξε σημαντικό ρόλο και στην τέχνη
    Pre-Renaissance Perspective
    Villa of P. Fannius Synistor Cubiculum Malcove
    Panel with temple at east end of the alcove,Middle of the first century B.C. Boscoreale (Pompeii), Italy

    Looking in a Mirror by an Ornamental Box Wang Shên (c. 1036–c. 1093) Southern Sung dynasty National Palace Museum of Taipei, Taipei

    και περισσότερα εδώ
    http://www.essentialvermeer.com/technique/perspective/history.html

    Sacred Geometry in Christian Art

    και αν σας ενδιαφέρουν περισσότερα
    Geometry offers a deeper reading of the imagery…

    https://www.artway.eu/content.php?id=2592&lang=en&action=show

  21. konstantinos said

    θεωρημα μη πληροτητας με απλη εξηγηση

  22. ΓΤ said

    19@

    Click to access Affine1.pdf

  23. loukretia50 said

    Piero della Francesca (c 1415-1492)

    Piero’s sacred geometry
    https://jonathansansom.net/Piero-s-sacred-geometry

  24. Από όσους μαθηματικούς γνώρισα μόνο ένας θα μπορούσε να χαρακτηρισθει γεεωμέτρης, όσοι τον πρόλαβαν φόραγε πάντοτε μια μάλλινη μπλούζα και το ένα της μανίκι ήταν πιο μακρύ, μ’ αυτό σκούπιζε τον πίνακα !
    Στην φυσική με ε’ιχε εντυπωσιάσει με τις γνώσεις του ένας…νομικός !!

  25. Παναγιώτης Κ. said

    Προσπαθώ να σκεφτώ ποιος άλλος επιστημονικός κλάδος εκτός από αυτόν της Γεωμετρίας παρουσιάζει αυτή την ενότητα συμπεράσματος και εικόνας.
    Ζητείται π.χ σε ένα πρόβλημα να αποδείξουμε κάτω από συγκεκριμένες υποθέσεις ότι τρία σημεία είναι συνευθειακά.
    Σε ένα λοιπόν ακριβές σχήμα τα σημεία είναι συνευθειακά.
    Αυτό είναι το κατ΄αρχήν το οποίο βεβαίως δεν αρκεί. Ακολουθεί η απόδειξη για να παγιωθεί το συμπέρασμα.
    Αν στο σχήμα δεν είναι συνευθειακά θα ψάξουμε να βρούμε τι συμβαίνει με το πρόβλημα που μας έχουν δώσει…

  26. odinmac said

    18 Προσπαθώ να μη βάζω (πολύ) γνωστά έργα που τα έχουμε δει δεκάδες φορές, πχ αντί γι’ αυτό:


    Andrea Mantegna (1431–1506), Oculus (1473), fresco, diameter 270 cm, Ceiling of the Spouses Chamber, Palazzo Ducale, Mantua, Italy.

    θα προτιμούσα αυτό:


    Hans Andersen Brendekilde (1857–1942), People by a Road (1893), oil on canvas, 200 x 263 cm, Statens Museum for Kunst (Den Kongelige Malerisamling), Copenhagen, Denmark.

    (εργάτες του δρόμου που σπάνε πέτρες σε χαλίκια – ξυλουργός με το πριόνι του – εκκλησίασμα που μόλις σχόλασε)

  27. jesus said

    εξαιρετικό κείμενο ως επί το πλείστον, αλλά πάσχει απελπιστικά στο κομμάτι στο οποίο αναφέρεται στην γραμμικότητα (ένα πήγαινέλα ανάμεσα στην τεχνική κ την τρέχουσα σημασία του όρου, οι οποίες διαφέρουν θεμελιωδώς) κ κάποια λάθη τα οποία δεν δικαιολογούνται από καμία απ’ τις δύο χρήσεις της λέξης (αν υπάρχει ενδιαφέρον να εξηγήσω, αλλά είναι τεχνικά ζητήματα)

    για την τυραννία της υπερβολικής αφαίρεσης στα γαλλικά μαθηματικά θα συμφωνήσω απολύτως πάντως, κ θα θέσω ένα ερώτημα το οποίο ακουμπάει το κείμενο.

    οι αρχαίοι έλληνες εφηύραν την επίπεδη γεωμετρία. παρόλο που ήξεραν ότι η γη δεν είναι επίπεδη εφήρμοσαν την επίπεδη γεωμετρία στην μελέτη της καμπύλης επιφάνειας της γης, προφανώς γνωρίζοντας σε πρακτικό επίπεδο ότι η επιφάνεια της γης είναι πρακτικά επίπεδη σε μικρές κλίμακες. δεν γνωρίζω όμως πουθενά να υπάρχει καταγεγραμμένη απόπειρα θεωρητικοποίησης αυτού του λογικού άλματος (κάτι βεβαίως πολύ πρόωρο στην ιστορία των μαθηματικών, γιατί οι καμπύλες γεωμετρίες τις οποίες αναφέρει το κείμενο περίμεναν τα μέσα του 19ου για να δουν το φως) ή έστω αναγνώρισης της ύπαρξης αυτού του λογικού άλματος.

    φαίνεται ότι ο βαβυλώνιοι ήξεραν στο πρακτικό επίπεδο πολλά απ’ αυτά για τα οποία οι αρχαίοι έλληνες έδωσαν θεωρητική βάση, χωρίς τους βαβυλώνιους να τους έχει απασχολήσει η θεωρητικοποίηση της πρακτικής γνώσης τους. το ίδιο φαίνεται να έκαναν κ οι αρχαίοι έλληνες για την σχέση επίπεδης και καμπύλης γεωμετρίας.

  28. odinmac said

    Ή αυτό:


    Hans Andersen Brendekilde (1857–1942), L.A. Ring Paints at Aasum Smithy (1893), oil on canvas, 107 x 140 cm, location not known.

    Το κτήριο πίσω από τον Ring, που φοράει το μακρύ καφέ παλτό και κρατά την παλέτα του, είναι το σιδηρουργείο στο χωριό Åsum (ή Aasum), στα ανατολικά του Odense στη Δανία. Ο πίνακας του Ring είναι του δημοτικού σχολείου, το οποίο είναι αριστερά.
    Ο καλοντυμένος άνδρας με το καπέλο (ένας τοπικός δάσκαλος, ο Λαρς Έμπεσεν) κριτικάρει τον πίνακα. Ο Ρινγκ κοιτάζει νευρικά καθώς ο κριτής του λέει τι έχει κάνει λάθος.

  29. Παναγιώτης Κ. said

    Η λεγόμενη Ευκλείδεια τόσο στο εξωτερικό όσο και στην Ελλάδα έχει υποβαθμιστεί. Όταν ρώτησα κάποιον ειδήμονα γιατί απεμπολήσαμε τον παιδαγωγικό χαρακτήρα της Γεωμετρίας, εκείνος μου απάντησε ότι η Θεωρία Πιθανοτήτων μπορεί να παίξει τον ίδιο παιδαγωγικό ρόλο με τον παιδαγωγικό ρόλο της Γεωμετρίας. Η φράση που χρησιμοποίησε ήταν: Αυτοί οι δύο κλάδοι είναι παιδαγωγικώς ισόμορφοι.
    Δεν είμαι σε θέση να ξέρω αν είναι έτσι ή όχι.
    Πάντως, η υποβάθμιση για την οποία έγραψα, απαιτεί κάποιαν απάντηση.
    Btw, όταν μιλάμε σήμερα για Γεωμετρία στο σχολικό επίπεδο εννοούμε την Επιπεδομετρία. Ο χώρος τον τριών διαστάσεων είναι σαν να μην υπάρχει αφού ποτέ δεν φτάνουμε σε αυτό το κεφάλαιο στη σχολική ύλη.
    Ακούω καθηγητές να παραπονιούνται στις διάφορες πολυτεχνικές σχολές ότι οι φοιτητές είναι αδαείς στο αντικείμενο της Στερεομετρίας.
    Προς ενημέρωση αναφέρω ότι στην Γ΄Γυμνασίου οι μαθητές έρχονται σε επαφή με τη Στερεομετρία. (Εμβαδά και όγκοι στερεών).

  30. odinmac said

    Και κάτι πιο μοντέρνο φεύγοντας:


    Mrinal Kanty Das (dates not known), Apostles Discoursing Maternity (2015), acrylic on canvas, 60 x 50 cm, location not known. By courtesy of the artist https://www.gallery247.com.au/mrinal-kanty-das

  31. loukretia50 said

    Ένα έργο που αγγίζει την τελειότητα
    Αγ,Σοφία

  32. Ομολογώ πως δεν κατάλαβα τίποτε! Μάλλον φταίει ότι τελείωσα κλασσικό γυμνάσιο…

  33. Pedis said

    Το είχα διαβάσει παλιότερα. Πολύ ενδιαφέρον κείμενο.

    Γιατί άραγε τις τελευταίες δεκαετίες η (σοβαρή) Ευκλείδια γεωμετρία έχει εξοβελιστεί από τα προγράμματα σπουδών των εκπαιδευτικών συστημάτων ΟΛΩΝ των χωρών;

    Υπάρχει το μπλογκ parmenides (δεν έχω πρόσβαση, αυτή τη στιγμή, μπαναρισμένο?) το οποίο είχε σκαναρισμένα !όλα! τα βιβλία γεωμετρίας που είχαν κυκλοφορήσει στην ελληνική αγορά.

    # 19 – Δεν έχει λάθος.

  34. antonislaw said

    Καλημέρα σας!Να είναι ελαφρύ το χώμα! Αν και των κοινωνικών ανθρωπιστικών σπουδών το αρθρο αυτό μου προξένησε το ενδιαφέρον και διάβασα απνευστί! Πολύ ενδιαφέρων ο τρόπος που αναπτύσεει τις θέσεις του ο καθηγητήςκαι πειστικός για τον μη επαΐοντα τουλαχιστον.
    24 »
    Στην φυσική με είχε εντυπωσιάσει με τις γνώσεις του ένας…νομικός !»
    Έχωτην πεποίθηση ότι σπουδαίοι νομικοί είναι μόνο όσοι είχαν άριστο επίπεδο στα μαθηματικά και όχι οι απλώς φιλολογίζοντες. Μέγα λάθος που δεν υπάρχει ως μάθημα για την επιλογή των νομικών τα μαθηματικά αλλά και η λογική καθώς τα πλείστα νομικά ζητήματα έτσι προσεγγίζονται.

  35. ΓιώργοςΜ said

    Καλημέρα!
    Ελαφρύ το χώμα, να πω κι εγώ πρώτα.

    Είναι πολύ ακριβές το κείμενο στο κομμάτι που μπορώ να καταλάβω τουλάχιστον.
    Η Ευκλείδεια γεωμετρία με γοήτευε πάντα πολύ, και στεναχωριέμαι που ουσιαστικά έχει εξοβελιστεί από τα προγράμματα των σχολείων. Θαρρείς πως σκοπός των μαθηματικών της μέσης εκπαίδευσης, μην πω και της πρωτοβάθμιας, είναι να προετοιμάσει τους μελλοντικούς μαθηματικούς και μόνο. Όπως είπε κι ο Νίκιπλος παραπάνω, η γεωμετρία χρειάζεται σχεδόν σε όλους· στην εκπαίδευση όλοι πλην των μελλοντικών θετικών επιστημόνων και μηχανικών δεν έχουν και πολλά να κρατήσουν από τα μαθηματικά που διδάσκονται, για τη γεωμετρία δε δεν διδάσκονται και πολλά.
    Η γεωμετρία είναι κάτι απτό, που ταιριάζει στον τρόπο που σκέφτεται το ανθρώπινο μυαλό. Οτιδήποτε άλλο έχει ένα σωρό φορμαλισμούς για να το χειριστεί κανείς και δεν έχει σε καμία περίπτωση την ίδια αμεσότητα.

  36. Νέο Kid said

    Δεν υπάρχει «επίπεδη» και «καμπύλη» γεωμετρία.
    Υπάρχει ευκλείδεια , υπερβολική και σφαιρική (ή ελλειπτική).
    Διαφέρουν κατά το 5ο αίτημα (του Ευκλείδη) και ΜΟΝΟ.

    Όπως το είχε συνοψίσει ωραία ο θρασύς νεανίας Γερμανός Ρημάνιος :

    Ο Ευκλείδης λέει οτι από ένα σημείο εκτός ευθείας άγεται μία και μόνη παράλληλος.
    Ο Λομπατσέφσκυ λέει ότι άγονται άπειρες.
    Εγώ λέω ότι δεν άγεται καμία!

  37. Αγγελος said

    NeoKid (19), εννοεί ότι η σύνθεση γεωμετρικών μετασχηματισμών δεν είναι αντιμεταθετική. Αυτό ισχύει και στην ειδική περίπτωση που αναφέρει (σύνθεση στροφής και παράλληλης μετατόπισης). Μόνον η σύνθεση στροφών με το ίδιο κέντρο, ή παράλληλων μετατοπίσεων, είναι ανεξάρτητη από τη σειρά τους.

  38. Και ποιος σου ζήτησε να βάζεις γνωστά ή λιγότερο γνωστά έργα; Να αρχίσουμε να βάζουμε όλοι μας ό,τι θαρρούμε ότι κατέχουμε εδώ; Και με τον πιο εύκολο τρόπο; Κοπιπαστή ένα λινκ και 2 προτάσεις;
    Άνοιξε δικό σου ιστολόγιο, άμα τόχεις καημό!

  39. Αγγελος said

    Ενδιαφέρουσα η άποψη ότι η θεωρία των πιθανοτήτων ειναι παιδευτικά εξίσου ωφέλιμη με τη γεωμετρία. Τι λένε οι εκπαιδευτικοί μας επί αυτού; Ξέρω ότι σήμερα διδάσκονται και στοιχεία θεωρίας πιθανοτήτων στο σχολείο, αλλά καταλαβαίνει τίποτε ο μέσος μαθητής; Η κόρη μου είμαι βέβαιος ότι τίποτε δεν κατάλαβε και τίποτε δεν συγκράτησε, αλλά δεν παίζει και τυχερά παιχνίδια, ώστε να την ενδιαφέρει 🙂

  40. Νέο Kid said

    Οι Πιθανότητες και η Στατιστική είναι (μαζί με τον απειροστικό λογισμό) ο πιο σημαντικός τομέας των «εφαρμοσμένων» Μαθηματικών.
    Κι αυτό, γιατί τα χρειαζόμαστε όταν ερχόμαστε αντιμέτωποι με την αβεβαιότητα. Δηλαδή, σχεδόν πάντα!

  41. jesus said

    36. αυτές που περιγράφεις είναι οι καμπύλες γεωμετρίες σταθερής καμπυλότητας. κανένας νόμος δεν λέει ότι η καμπυλότητα πρέπει να είναι σταθερή (ενδέχεται μόνο να ισχύει κατά προσέγγιση στις ακραία μεγάλες κλίμακες του σύμπαντος κ ισχύει προσεγγιστικά στις απειροστά μικρές).

    ο όρος «καμπύλη γεωμετρία» είναι απλά ισοδύναμο στην τρέχουσα γλώσσα για την ρημάννια γεωμετρία η οποία δεν έχει καμία σχέση με τα αιτήματα του ευκλείδη. το 5ο αίτημα το βρίσκεις ως συνέπεια των αξιωμάτων της ρημάννιας γεωμετρίας (που δεν έχουν πάλι να κάνουν τίποτα με τα αιτήματα του ευκλείδη) εάν επιβάλεις σταθερή καμπυλότητα ίση με το μηδέν. αν επιβάλεις σταθερή καμπυλότητα σταθερή κ ίση με -1 βρίσκεις το αίτημα του λομπατσέβσκι, κ αν επιβάλεις σταθερή κ ίση με +1 βρίσκεις το αίτημα της σφαιρικής γεωμετρίας (ήτοι απουσία παραλλήλων).

  42. Νέο Kid said

    Οι εκπαίδευτικοί (κι όχι μόνο της μέσης ,αλλά και της «ανώτερης» εκπαίδευσης) δυστυχώς κατά κανόνα έχουν μαύρα μεσάνυχτα από πιθανότητες και στατιστική…

  43. Avonidas said

    Καλημέρα.

    Σήμερα που ταξιδεύω και δεν έχω χρόνο βρήκες να βάλεις ένα τόσο ενδιαφέρον άρθρο, Νικοκύρη 😉

    Πάμε επί τροχάδην:

    Το 1966 έγινε στην πόλη Caen της Γαλλίας ένα συνέδριο, όπου είπαν: “Είναι καιρός επί τέλους τα μοντέρνα Μαθηματικά, τα οποία από την εποχή του Cantor μέχρι σήμερα – μέχρι τότε δηλαδή, το 1966 – έχουν πάρει μια βασική υπόσταση και διέπουν όλη μας τη δουλειά ως μαθηματικών, αυτών που παράγουμε Μαθηματικά, να μπουν από νωρίς στο σχολείο”. Και αρχίσαμε από τότε μία πορεία η οποία έφερε τη Θεωρία Συνόλων στην πρώτη Δημοτικού, αν όχι στο Νηπιαγωγείο, και η οποία μεταξύ άλλων άδειασε την Ευκλείδεια Γεωμετρία από τα εκπαιδευτικά προγράμματα.

    Με πιάσανε και μένα τα μοντέρνα μαθηματικά – σύνολα, διατύπωση αριθμών σε διαφορετικές βάσεις (δυαδικό, τριαδικό κλπ.), έμφαση στην αξιωματική προσέγγιση και τις αφηρημένες ιδιότητες (αντιμεταθετικότητα, προσεταιριστικότητα κλπ.) Θυμάμαι τη μητέρα μιας συμμαθήτριας στο δημοτικό, να αναρωτιέται έντρομη «μα, μπορούν να τα καταλάβουν αυτά; Τι χρειάζεται το δυαδικό;» Στο οποίο έχω να απαντήσω πρώτον, όπως ο μακαρίτης, ότι το δυαδικό χρειάζεται όσο χρειάζεται κι η γεωμετρία, και δεύτερον ότι το πρόβλημα ανάγεται στο να βρεις τον δάσκαλο – αν τον βρεις, όλα διδάσκονται, και διδάσκονται κι ευχάριστα 🙂

    Για τον εξοβελισμό των σχημάτων: πράγματι υπήρξε αυτή η τάση, και μάλιστα με τους περίφημους Μπουρμπακί, μια ψευδώνυμη ομήγυρη μαθηματικών στη Γαλλία του μεσοπολέμου που αποδύθηκαν σε μια προσπάθεια να βάλουν τα μαθηματικά σε νέες, αυστηρές βάσεις. Ο φορμαλισμός έπρεπε να βασιλεύει απόλυτα, εξ ου κι ο εξοβελισμός των σχημάτων – διότι τίποτα δεν έπρεπε να προκύπτει από το σχήμα στις αποδείξεις, και θεωρήθηκε, λανθασμένα, ότι ο καλύτερος τρόπος να μην παρασυρθείς είναι να μην κάνεις καθόλου σχήμα. Λάθος τραγικό· θυμάμαι τον μαθηματικό μου στο λύκειο να λέει «η εποπτεία είναι σπουδαίο πράγμα». Ο Benoit Mandelbrot επίσης εναντιώθηκε στους Μπουρμπακί για παρόμοιους λόγους, κι έδειξε πόσο σημαντικό πράγμα είναι η εποπτεία, και πόσο γόνιμο – η φράκταλ γεωμετρία αναδύθηκε ακριβώς εξασκώντας και επεκτείνοντας τη γεωμετρική διαίσθηση. Είναι βέβαια καλό πράγμα να είσαι αυστηρός στις αποδείξεις, αλλά όχι μέχρι του σημείου να σακατεύεις τη διαίσθησή σου σχετικά με το ΤΙ προσπαθείς να αποδείξεις! Στο κάτω κάτω, ακόμη κι ο μαθηματικός γίγαντας Αρχιμήδης είχε αναπτύξει τη μηχανική ευρετική μέθοδο για να βρίσκει τους όγκους και τα εμβαδά των σχημάτων, που μετά αποδείκνυε απόλυτα αυστηρά.

    #27. οι αρχαίοι έλληνες εφηύραν την επίπεδη γεωμετρία. παρόλο που ήξεραν ότι η γη δεν είναι επίπεδη εφήρμοσαν την επίπεδη γεωμετρία στην μελέτη της καμπύλης επιφάνειας της γης, προφανώς γνωρίζοντας σε πρακτικό επίπεδο ότι η επιφάνεια της γης είναι πρακτικά επίπεδη σε μικρές κλίμακες. δεν γνωρίζω όμως πουθενά να υπάρχει καταγεγραμμένη απόπειρα θεωρητικοποίησης αυτού του λογικού άλματος (κάτι βεβαίως πολύ πρόωρο στην ιστορία των μαθηματικών, γιατί οι καμπύλες γεωμετρίες τις οποίες αναφέρει το κείμενο περίμεναν τα μέσα του 19ου για να δουν το φως) ή έστω αναγνώρισης της ύπαρξης αυτού του λογικού άλματος.

    Κι όμως, κάνεις λάθος! Οι αρχαίοι Έλληνες – ακριβέστερα, οι μαθηματικοί και αστρονόμοι της ελληνιστικής εποχής – ανέπτυξαν πλήρως μια καμπυλόγραμμη γεωμετρία, τη σφαιρική τριγωνομετρία, για να την εφαρμόσουν σε προβλήματα παρατηρησιακής αστρονομίας. Και τη θεμελίωσαν όχι στην Ευκλείδεια, επίπεδη γεωμετρία, αλλά αξιωματικά. Δηλαδή, η σφαιρική τριγωνομετρία δεν διατυπώνεται με όρους τόξων μεγίστου κύκλου πάνω σε μια σφαίρα, αλλά κάνει λόγο για σφαιρικά τρίγωνα (τρίγωνα πάνω στη σφαίρα, που οι πλευρές τους είναι τόξα μεγίστου κύκλου). Και τα σχετικά θεωρήματα, που επιτρέπουν να βρεις τις σχέσεις ανάμεσα στις πλευρές και τις γωνίες αυτών των τριγώνων (οι πλευρές πάνω στη σφαίρα ΕΙΝΑΙ γωνίες, με την ευκαιρία, αφού η ακτίνα της σφαίρας είναι απροσδιόριστη) διατυπώνονται όπως και τα αντίστοιχα που αφορούν επίπεδα τρίγωνα. Αυτό δεν είναι τίποτα άλλο από μια μη ευκλείδεια γεωμετρία, αξιωματικά διατυπωμένη – μια ειδική περίπτωση ρημάνειας γεωμετρίας.

    Ο ίδιος ο Ευκλείδης, με την ευκαιρία, μάλλον είχε πλήρη επίγνωση ότι η «ευκλείδεια» γεωμετρία δεν ήταν η μόνη δυνατή· διαφορετικά, για ποιο λόγο να καθυστερήσει τόσο πολύ τη χρήση του 5ου αιτήματος στην πορεία των Στοιχείων του; Διότι αυτό ακριβώς που κάνει, μέχρι το σημείο όπου χρησιμοποιεί για πρώτη φορά το 5ο αίτημα, είναι να χτίζει τη λεγόμενη απόλυτη γεωμετρία – το κομμάτι εκείνο της γεωμετρίας που αποτελεί το κοινό υπόβαθρο τόσο της ευκλείδειας όσο και των μη ευκλείδειων γεωμετριών, και τις κάνει *γεωμετρίες*, σε αντιδιαστολή π.χ. προς την αριθμητική, ή άλλους μαθηματικούς κλάδους.

  44. Παναγιώτης Κ. said

    Ένα…προκλητικό παράδειγμα ως αφορμή για κάτι γενικότερο.
    Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει μήκη πλευρών 3, 4 και…6.
    Να βρεθεί το μήκος της διαμέσου που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα.
    Έρχεται η πρώτη…χαμογελαστή απάντηση: Μα είναι γνωστό ότι είναι το μισό της υποτείνουσας οπότε το μήκος της είναι 3.
    Μια άλλη απάντηση με τη χρήση του θεωρήματος διαμέσων δίνει αποτέλεσμα τετρ.ρίζα του 3,5=1,87…
    Τι λοιπόν συνέβη;
    Η απάντηση είναι απλή. Τα δεδομένα του προβλήματος είναι αντιφατικά. Δεν υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με μήκη πλευρών 3,4,6.
    Υπερβολικό το παραπάνω; Εκ πρώτης όψεως ναι.

    1997. Στην Α΄Δέσμη τότε δόθηκε ένα θέμα και μια σχέση που αφορούσε κάποια συνάρτηση και ζητιόταν να αποδειχθεί μια άλλη σχέση. Την άσκηση την…έλυσαν αλλά στον ενδομαθηματικό διάλογο που ακολούθησε, αποδείχθηκε ότι τέτοια συνάρτηση δεν υπάρχει.Δηλαδή οι θεματοδότες έχτιζαν…ανώγεια και κατώγια σε ανύπαρκτο…έδαφος.
    Είχαν παραβιάσει την ουσιώδη αρχή που μιλάει για «καλά ορισμένο πρόβλημα» ή αλλιώς, παραβίασαν την αρχή του modus ponens. Η αρχή αυτή επιβάλλει η κάθε υπόθεση που
    εισάγεται σε κάθε πρόβλημα να είναι αληθής.

    Το γενικότερο τώρα:
    Έρχεται ο … φιλελεύθερος και για να ερμηνεύσει διάφορα οικονομικά ζητήματα επικαλείται «το αόρατο χέρι της αγοράς».
    Ο αντίπαλος του φιλελεύθερου απορρίπτει την κατασκευή αυτή.
    Ο φιλελεύθερος με τη σειρά του απορρίπτει την παραδοχή του αντιπάλου του που λέει ότι «η μέχρι σήμερα γραπτή ιστορία είναι η ιστορία της πάλης των τάξεων»
    Χοντρικά λοιπόν έχουμε έναν κόσμο μοιρασμένο στα δυο.
    Τι πιστοποιεί την εγκυρότητα της μιας ή της άλλης παραδοχής; Η πίστη της κάθε πλευράς στην δική της πρόταση.
    Επειδή όμως είμαστε στο χώρο της Γεωμετρίας δεν μπορεί να μην αναφέρουμε τον άλλο μεγάλο: τον Descartes.
    Στο περί μεθόδου έργο του έλεγε πως οι υποθέσεις από τις οποίες ξεκινάμε πρέπει να είναι κοινά αποδεκτές.
    Αυτή η απαίτηση δεν τηρείται στις παραπάνω δύο (πολιτικές) προτάσεις.

  45. Νέο Kid said

    «Ο ίδιος ο Ευκλείδης, με την ευκαιρία, μάλλον είχε πλήρη επίγνωση ότι η «ευκλείδεια» γεωμετρία δεν ήταν η μόνη δυνατή»
    Ναι! Kαι πιθανότατα να μην θεωρούσε καν «αίτημα» (δηλαδή αξίωμα) το 5ο…
    Γι’αυτό και η έκφρασή του σαν να είναι αγόρευση του Κούγια… (ενώ τα 4 άλλα είναι σαφή και λιτά!)
    (Η ισοδυναμία του 5ου με το «από σημείο εκτός ευθείας άγεται μία και μόνη παράλληλος» αποδείχτηκε μεταγενέστερα πολύ)

  46. Avonidas said

    #18. Αγαπητέ Odinmac, λόγω του θέματος, κυβιστικά έργα περιμέναμε, άντε και λίγο Klee ή Kandinsky.

    Εγώ πάντως βλέπω ένα «2» στον 1ο πίνακα 😉

    Επίσης:

    «Τα σύννεφα δεν είναι σφαίρες, τα βουνά δεν είναι κώνοι, οι ακτογραμμές δεν είναι κύκλοι, η φλούδα του δέντρου δεν είναι λεία, ούτε κι η αστραπή ταξιδεύει σ’ ευθεία γραμμή»
    ― Benoît Mandelbrot

    😀

  47. jesus said

    43. οι αρχαίοι έλληνες ανέπτυξαν την σφαιρική γεωμετρία δεχόμενοι την σφαίρα όχι ως αυθύπαρκτο χώρο (στην οποία περίπτωση θα έπρεπε να τροποποιήσουν το 5ο αίτημα, κάτι το οποίο δεν νομίζω να έκαναν) αλλά ως υποσύνολο του τρισδιάστατου χώρου, ορίζοντας τους μέγιστους κύκλους πχ ως τομές της σφαίρας με επίπεδα που περνούν απ’ το κέντρο της. η διαφορά αποδίδεται στα αγγλικά με το intrinsic geometry vs geometry of an embedded manifold.

    όταν όμως έκαναν έργα, τα σχεδίαζαν στο εφαπτόμενο επίπεδο της σφαίρας (επίπεδη γεωμετρία) κ τα εκτελούσαν στην σφαίρα την ίδια (καμπύλος χώρος) χωρίς, απ’ όσο ξέρω, να τους απασχολήσει η σχέση ανάμεσα στα δύο σε θεωρητικό επίπεδο, δεχόμενοι απλά το εμπειροκό αξίωμα ότι όλοι οι χώροι είναι τοπικά επίπεδοι.

  48. Νέο Kid said

    41. Διαφωνώ καθέτως οριζοντίως και αρημανίως … αλλά δεν προκάνω τώρα. Ίσως το βράδυ.
    Οι 3 βασικές γεωμετρίες διθαφέρουν ΜΟΝΟ κατά το 5ο αίτημα του Ευκλέιδη.

  49. Avonidas said

    #45. Kαι πιθανότατα να μην θεωρούσε καν «αίτημα» (δηλαδή αξίωμα) το 5ο…

    Μάλλον το αντίθετο λέμε, Kid. Ακριβώς το ότι μπορούν να υπάρξουν (συνεπείς) μη ευκλείδειες γεωμετρίες σημαίνει ότι το 5ο αίτημα *πρέπει* να τεθεί ως αξίωμα – αν μπορούσε να αποδειχτεί ως θεώρημα, μόνο η ευκλείδεια γεωμετρία θα ήταν λογικά δυνατή.

    Αυτό που λέω είναι το εξής: ο ευκλείδης ασφαλώς ήταν εξοικειωμένος με τη σφαιρική τριγωνομετρία. Γνώριζε, λοιπόν, το μοντέλο ενός χώρου όπου 2 «ευθείες»* που τέμνουν κάθετα μια άλλη ευθεία τέμνονται κι οι ίδιες μεταξύ τους (αυτό ακριβώς συμβαίνει με τους μεσημβρινούς μιας σφαίρας, που τέμνουν κάθετα τον ισημερινό). Οι ευθείες πάνω στη σφαίρα δεν ικανοποιούν το 5ο αίτημα, κι όμως προφανώς υπάρχουν! Αυτό μας οδηγεί κατευθείαν στις μη ευκλείδειες γεωμετρίες.

    * Βέβαια, για να το σκεφτεί κανείς έτσι, πρέπει να δει τους μέγιστους κύκλους σαν ευθείες, και να συνειδητοποιήσει ότι ΟΛΑ τα άλλα αιτήματα της ευκλείδειας γεωμετρίας ικανοποιούνται πάνω στη σφαίρα. Θυμηθείτε τον Χίλμπερτ! Είτε μιλάμε για ευθείες είτε για καρέκλες, αυτό που μετράει είναι η λογική συνοχή. 🙂 Είναι ένα κάποιο άλμα, αλλά όπως είπα η σφαιρική τριγωνομετρία είχε κι αυτή διατυπωθεί αξιωματικά, άρα δεν είναι αφύσικη μια τέτοια σκέψη. Βεβαίως, μέχρι τον 19ο αιώνα, δεν είχαμε τίποτα συγκρίσιμο με τη συστηματική εξερεύνηση τέτοιων γεωμετριών, κι όχι απλώς ενός ειδικού παραδείγματος, όπως η σφαιρική γεωμετρία.

  50. Παναγιώτης Κ. said

    Για την Εποπτεία στα Μαθηματικά είχα διαβάσει την εξής παρομοίωση: Η εποπτεία είναι σαν τους τροχούς του αεροπλάνου. Τους χρειαζόμαστε για να απογειωθεί το αεροπλάνο.
    Έτσι λοιπόν συμβαίνει και στα Μαθηματικά. Χρειαζόμαστε την εποπτεία για να…απογειωθούμε από το έδαφος του πραγματικού και να εισέλθουμε στον χώρο του αφηρημένου…
    Βεβαίως να μη μείνουμε εκεί αλλά 🙂 να μπορούμε να προσγειωθούμε και πάλι στο έδαφος της πραγματικότητας οπότε, πάλι είναι χρήσιμοι οι τροχοί!
    Αν μείνουμε στους αιθέρες του αφηρημένου τότε θα είμαστε…αιθεροβάμονες. 🙂
    Κάτι ανάλογο με αυτούς που κάνουν «τέχνη για την τέχνη».

  51. Avonidas said

    #47. οι αρχαίοι έλληνες ανέπτυξαν την σφαιρική γεωμετρία δεχόμενοι την σφαίρα όχι ως αυθύπαρκτο χώρο (στην οποία περίπτωση θα έπρεπε να τροποποιήσουν το 5ο αίτημα, κάτι το οποίο δεν νομίζω να έκαναν) αλλά ως υποσύνολο του τρισδιάστατου χώρου

    Όχι, όχι, όχι!

    Υπάρχει μια σύγχυση εδώ ανάμεσα στο μοντέλο και το αξιωματικό σύστημα. Η *ύπαρξη* (πόσο μάλλον η αυθυπαρξία) ενός χώρου δεν ενδιαφέρει καθόλου σ’ αυτή τη δουλειά! Το μόνο που ενδιαφέρει είναι ΠΟΙΑ αξιώματα ικανοποιεί ένα μοντέλο, και μετά μπορείς να προχωρήσεις στη διατύπωση θεωρημάτων. Αντίθετα με την κοινή αντίληψη, τα αξιώματα που θέτεις δεν είναι τα πιο θεμελιώδη, αλλά τα πιο βολικά.

    Τι θέλω να πω μ’ αυτό; Ασφαλώς και μπορεί να μελετήσει κανείς τους μέγιστους κύκλους σαν τομές επιπέδων με τη σφαίρα. Αλλά βολεύει να τους μελετήσει σαν γενικευμένες ευθείες, αφού πρώτα δείξει ότι ικανοποιούν όλα τα σχετικά αξιώματα – και οι ελληνιστικοί μαθηματικοί όντως το έκαναν. Το ότι επίσης μελέτησαν τις κωνικές τομές στα πλαίσια της στερεομετρίας δεν δημιουργεί πρόβλημα – δεν υπάρχει αντίφαση ανάμεσα στα δύο. Με τον ίδιο τρόπο, μπορεί να μελετήσει κανείς το επίπεδο με τα αξιώματα της ευκλείδειας γεωμετρίας, ή σαν τον χώρο R^2, ή σαν το μιγαδικό επίπεδο. Τα εργαλεία είναι διαφορετικά, και αρμόζουν σε διαφορετικές εφαρμογές, αλλά η βασική δομή ίδια.

  52. […] Πηγή […]

  53. Georgios Bartzoudis said

    «Τα παπούτσια και τα αυτοκίνητα διαφέρουν από το μυαλό και την ελευθερία του λόγου σε τί; Τα πρώτα φθείρονται όσο περισσότερο τα χρησιμοποιεί κανείς. Τα δεύτερα φθείρονται όσο περισσότερο δεν τα χρησιμοποιεί».

    # Σοφή κουβέντα, σοφού ανδρός. Παράδειγμα: Στο αλήστου μνήμης μαντρί του κομμουνιστικού παραδείσου, η επί δεκαετίες ουδόλως χρησιμοποιηθείσα ελευθερία του λόγου, εφθάρη ανεπανόρθωτα. Έκτοτε, ουκ ολίγοι εκ των κληρονόμων του «παραδείσου», εμφανίστηκαν διψασμένοι για ελευθερία του λόγου, αλλά ΜΟΝΟ για τον εαυτό τους και ΟΧΙ για τους …εξωπαρδείσιους! [θα τα καταφέρουν αν και όταν πάρουν ΟΛΗ την εξουσία]. Τί σου είναι τα μαθηματικά: Μόνο αλήθειες …ξεσκεπάζουν!

  54. sarant said

    Ευχαριστώ για τα νεότερα!

    7 Οκ, διόρθωσα

    10 Τα χρόνια είναι παραπάνω από 25, από το 2013 ή από το 2008 -αλλά μάλλον είναι παλιότερο ακόμα το κείμενο. Πάντως λογαριθμικό κανόνα εγώ δεν χρησιμοποίησα ποτέ, και μπήκα στο ΕΜΠ το 1977.

    43 Ωραίο σχόλιο όμως

  55. mitsos said

    Πολύ όμορφο κείμενο.
    Το επιστημονικό επίπεδο του συγγραφέα ασφαλώς ξεπερνά το δικό μου επίπεδο επί του θέματος Γεωμετρία ( και όχι μόνο ) αλλά θα τολμήσω με δυσκολία και θράσος ΄τρεις παρατηρήσεις ( μάλλον γνωστές στον συγγραφέα αλλά ήσονος ίσως σημασίας για τον ίδιο)
    1) Η Ευκλείδια γεωμετρία είναι το μόνο πλήρες κατά Γκεντελ μέχρι σήμερα θεωρητικό σώμα αξιωμάτων,οεωρημάτων , πορισμάτων.

    2) Ένα από τα μεγαλύτερα προβλήματα διδακτικής που επέφερε η υποβάθμιση της Γεωμετρίας ( και η εξαφάνιση του μαθήματος της Λογικής ) στην Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση είναι :

    2α) η αδυναμία των μαθητών να αφομοιώσουν την λογική δομή των επιχειρημάτων . Στα επιχειρήματα των μαθητών μπορεί να διακρίνει κανείς εύκολα την ατελή γενίκευση από μικρό αριθμό παραδειγμάτων αλλά σπάνια την πορεία ενός πλήρη τόξου λογικών επιχειρημάτων από προκείμενες ( ορισμούς και αξιώματα ) προς το μερικό και ειδικό και αντιστρόφωςπρος επιβεβαίωση των προκείμενων. Η διδασκαλία της εύρεσης γεωμετρικών τόπων και μεθόδων κατασκευής και η απόδειξη της εύρεσης προσέφερε παλαιότερα τεράστις δυνατότητες δομής στην σκέψη και την εκφορά των επιχειρημάτων.

    2β) Η εξαφάνιση της στερεομετρίας έχει ήδη διαβρώσει εκπαιδευτικούς και συγγράματα σε σημείο που όχι μόνο να δυσκολεύεται η επικοινωνία στην φυσική γλώσσα αλλά να αναπαράγονται α-νοησίες. Διαβάζω π.χ.1 η πλευρά κύβου πλευράς α. Μα οι κύβοι έχουν ακμές, έδρες και κορυφές. πλευρά α ; η ακμή ή είναι το εμβαδόν της έδρας ; ή π.χ.2 κατακόρυφη ράβδος αρθρώνεται σε σημειο Α του εδάφους ώστε να μπορεί να περιστραφεί γύρω από ακλόνητο κατακόρυφο άξονα και να πέσει στο έδαφος . Μα πώς θα πέσει στο έδαφος αν περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα ;!

    3. Δεν είμαι σίγουρος ότι σε ανώτερο επίπεδο μεταπτυχιακών σπουδών και έρευνας μπορεί κάποιος να δουλέψει χωρίς την παραστατικότητα της γεωμετρίας. π.χ. μελέτη επίλυσης διαφορικών και κυματοσυναρτήσεων ανευ plot στην mathematica δεν νομιζω πως παίζει για δημοσίευση. Αλλά ακόμα και ο τρόπος που ο Γκλεν και ο Γουαϊνμπερκ έφθασαν στην παραγωγή μαθηματικής περιγραφής των πεδίων αλληλεπίδρασης κουόρκς και γκλούονς πέρασε μέσα από μια διαδικασία γεωμετρικής αναπαράστασης.
    Ασφαλώς όμως σε αυτό το επίπεδο έρευνας και σπουδών δεν υπάρχουν κενά Γεωμετρίας ή η κάλυψη αυτών δεν αποτελεί πρόβλημα .

    Συγμώμη για το σεντόνι.

  56. Pedis said

    Οι Αρχαίοι Έλληνες (Έλληνες με την ευρύτερη έννοια), όχι οι δύο γνωστοί των αρχαιόπληκτων, οι άλλοι … είχαν ανακαλύψει τη μαθηματική γεωγραφία (γεωγραφία: όρος του Ερατοσθένη), τη μαθηματική αστρονομία και, μεταξύ άλλων, γνώριζαν και εφάρμοσαν πολύ πιθανά τη σύμμορφη απεικόνιση στη κατασκευή χαρτών (‘Ιππαρχος).

    Επιστήμες και θέματα που ξεχάστηκαν, επειδή οι Ρωμαίοι, οι «Αμερικάνοι» κυριάρχοι του -2ου αι, ήταν ακαλλιέργητοι και στούρνοι και δεν καταλάβαιναν γρι.

    Φρέσκο έργο από τον 78χρονο Lucio Russo

    στο οποίο ο συγγραφέας επενέρχεται σε θέματα που έχει διαπραγματευτεί στα έργα του «La Rivoluzione dimenticata», «L’ America dimenticata», «Flussi e riflussi» καθώς και σε διάφορα (μερικά πρόσφατα) επιστημονικά άρθρα.

    (To πρώτο κυκλοφορεί στα ελληνικά σε μτφρ της 1ης έκδοσης. Πέρυσι κυκλοφόρησε στα Ιταλικά νέα έκδοση επαυξημένη.)

    Με την ευχή να μεταφραστεί το καινούριο βιβλίο του Russo στα ελληνικά (δύσκολο εγχείρημα, επειδή απαιτείται μεταφραστής που να γνωρίζει πολύ καλά μαθηματικά-φυσική, λατινικά και αρχαία ελληνικά), ας ελπίσουμε όχι με επιμέλεια από φίλο της Ενωσης Ελλήνων Φυσικών … 😎

  57. Παναγιώτης Κ. said

    Κτγμ. ένα αρνητικό στοιχείο της μαθηματικής εκπαίδευσης στη χώρα μας και σε επίπεδο τριτοβάθμιας εκπαίδευσης ( με πρώτα και…χειρότερα τα μαθηματικά τμήματα της χώρας) είναι η είσοδος του φοιτητή των Μαθηματικών κατευθείαν στο χώρο του αφηρημένου. Όχι δεν εννοώ ότι πρέπει να χρησιμοποιούνται εποπτικές μέθοδοι πρόσβασης στη νέα γνώση που καλείται να κατακτήσει ο φοιτητής.
    Εννοώ να υπάρχει μια σύνδεση της γνώσης που ήδη έχει ο φοιτητής από το Λύκειο με το καινούργιο.
    Αναγνωρίζω ότι κάτι τέτοιο είναι χρονοβόρο και δεν υπάρχει αυτή η πολυτέλεια. Αίφνης όμως θα μπορούσαν μας πούνε ποια προβλήματα λύσαμε ή επιδιώκουμε να λύσουμε π.χ με την Συναρτησιακή Ανάλυση. (Μας την είχε διδάξει ο Παύλος Γεωργίου. Θυμάμαι ότι έχει ως αντικείμενο απεικονίσεις μεταξύ διανυσματικών χώρων ).
    Το σχόλιο αυτό δεν θα 🙂 τολμούσα να το γράψω εάν δεν είχε προηγηθεί μια μικρή έρευνα από μένα. Απηύθυνα λοιπόν το ερώτημα σε μια ομήγυρη μαθηματικών να μου πουν τι σόι πράγμα είναι η Συναρτησιακή Ανάλυση. Πλήρες…λευκό η απάντηση. 🙂

  58. Pedis said

    # 55 – Who is Γκλεν?

  59. jesus said

    51. η ισοδυναμία καταρρέει μόλις επιτρέψεις μη σταθερή καμπυλότητα κ ο μόνος τρόπος μελέτης των γεωδεσιακών είναι με την υιοθέτηση του intrinsic μοντέλου. δεν μπορείς επουδενί να θεωρείς παραδειγματικές τις εκφυλισμένες περιπτώσεις κ ο συλλογισμός πρέπει να δέχεται γενίκευσης αλλιώς είναι toy case κ πρέπει να αντιμετωπίζεται ως τέτοιος.

    δεν μου απάντησες όμως, υπάρχει καταγεγραμμένο το 5ο αίτημα για την περίπτωση της σφαιρικής γεωμετρίας στην αρχαία γραμματεία; υπάρχει καταγεγραμμένος ο προβληματισμός του πώς γίνεται εργαλεία αναπτυγμένα για επίπεδη γεωμετρία να λειτουργούν πάνω σε καμπύλες επιφάνεις;

    αυτά κ το αφήνω από μεριάς μου, σου αφήνω τον τελευταίο λογο στη συζήτηση

  60. Avonidas said

    #56. Με την ευχή να μεταφραστεί το καινούριο βιβλίο του Russo στα ελληνικά (δύσκολο εγχείρημα, επειδή απαιτείται μεταφραστής που να γνωρίζει πολύ καλά μαθηματικά-φυσική, λατινικά και αρχαία ελληνικά)

    Εύχομαι κι εγώ να βρεθεί, γιατί είμαι πολυ μεγάλος φαν του Russo. Δεν θα μπορούσε όμως να γίνει συνεργατικά η μετάφραση, με διαφορετικούς μεταφραστές/επιμελητές για τα επιστημονικά και για τα γλωσσικά θέματα;

    (Αντιλαμβάνομαι την ειρωνία του πράγματος, καθώς Η Λησμονημένη Επανάσταση πραγματευόταν ακριβώς, το λυπηρό του χάσματος ανάμεσα στη θετική και την κλασική παιδεία…)

    Επίσης, χωρίς καμιά διάθεση αστεϊσμού, έχεις σκεφτεί το ενδεχόμενο να κάνεις αυτή τη δουλειά; (Όχι τη συγκεκριμένη μετάφραση, μεταφράσεις από τα ιταλικά γενικότερα). Ρωτάω επειδή έχω υπόψη μου το παράδειγμα συναδέλφου στο Φυσικό που το γύρισε σε επαγγελματικές μεταφράσεις, με εξαιρετικά αποτελέσματα. Κι αυτό που κυρίως απαιτείται σ’ αυτή τη δουλειά δεν είναι τόσο οι περγαμηνές, όσο το μεράκι, η ευσυνειδησία και μια κάποια ταπεινότητα (να έχεις δίπλα σου μια στοίβα, ή ένα στικάκι λεξικά, και να μη ντρέπεσαι να τ’ ανοίξεις, όσο καλά κι αν πιστεύεις ότι κατέχεις τη γλώσσα).

  61. loukretia50 said

    38. Stazy,
    Έχεις εξηγήσει πάρα πολλές φορές τους λόγους που επιβάλλουν να είμαστε φειδωλοί στις αναρτήσεις εικόνων και βιντεακίων γιατί βαραίνουν υπερβολικά τα νήματα.
    Ανήκω σ΄εκείνους που έχουν κάνει κατάχρηση και καταλαβαίνω την αγανάκτησή σου.
    Και βέβαια έχεις δίκιο ότι θα ήταν υπερβολή ν΄αρχίσει ο καθένας τις ατέλειωτες αναρτήσεις σχετικά με το αντικείμενο της ειδικότητάς του.
    Όμως βρίσκω άδικη την αφορμή για το σημερινό σχόλιό σου.
    Ο Οdinmac – στον οποίο ουσιαστικά αναφέρεσαι, ξεκίνησε απίστευτα διακριτικά, απολογούμενος για την κατάχρηση του χώρου και συνέχισε να μας χαρίζει ανάσες ομορφιάς,μετά την ενθάρρυνση πολλών σχολιαστών και του Νικοκύρη,
    Τη στιγμή μάλιστα που τα τελευταία νήματα υποφέρουν από την ατέρμονη κλωτσοσκουφιάδα, που βαραίνει διαφορετικά, αποθαρρύνοντας και τις ελάχιστες σχολιάστριες , ενώ το επίπεδο των χαρακτηρισμών υποβαθμίζει ένα ιστολόγιο μοναδικό στο είδος του.

    Συγνώμη για την παρέμβαση.

  62. Αγγελος said

    Αβωνίδα (51), σοβαρά οι μαθηματικοί της ελληνιστικής εποχής μελέτησαν τη γεωμετρία, και δη την τριγωνομετρία, της σφαίρας (απαραίτητη για τις αστρονομικές μελέτες) σε αξιωματική βάση, και όχι ως εφαρμογή της ευκλειδειας γεωμετρίας (θεωρία των τρίεδρων γωνιών); Έχουν σωθεί σχετικά συγγράμματα, και τίνος; Μήπως του Κλαύδιου Πτολεμαίου;

  63. Avonidas said

    #59. δεν μου απάντησες όμως, υπάρχει καταγεγραμμένο το 5ο αίτημα για την περίπτωση της σφαιρικής γεωμετρίας στην αρχαία γραμματεία; υπάρχει καταγεγραμμένος ο προβληματισμός του πώς γίνεται εργαλεία αναπτυγμένα για επίπεδη γεωμετρία να λειτουργούν πάνω σε καμπύλες επιφάνεις;

    Απ’ όσο ξέρω, όχι. Δηλαδή, όχι εκπεφρασμένα. Υπάρχει όμως η κρίσιμη μετάβαση, στον Ευκλείδη, από ένα σκόρπιο σύνολο γεωμετρικών αποδείξεων που χρησιμοποιούν «γνωστά» αποτελέσματα σε ένα συνειδητά αυτοσυνεπές αξιωματικό σύστημα.

    Τι θέλω να πω μ’ αυτό; Οι γεωμέτρες της κλασικής εποχής καταρχήν δεν ήταν συγκεκριμένα γεωμέτρες – ήταν στοχαστές που έκαναν γεωμετρικές αποδείξεις στα ίδια πλαίσια που διατύπωναν π.χ. οι Ίωνες φιλόσοφοι θεωρίες, ή οι ρήτορες επιχειρήματα. Δεν υπήρχε ένα σύνολο αρχικών αξιωμάτων, ούτε η συνείδηση πως διαφορετικά αξιώματα προσιδιάζουν σε διαφορετικά «μοντέλα». Υπήρχαν απλώς συλλογισμοί του τύπου «αυτή η πρόταση, που δεν μας είναι προφανής, προκύπτει αναγκαία από τούτη δω, που όλοι συμφωνούμε πως είναι αναμφισβήτητα αληθής».

    Ο Ευκλείδης δεν συγκέντρωσε απλώς το προϋπάρχον υλικό και το έβαλε σε σειρά· έχτισε ένα σύστημα, με πλήρη συνείδηση ότι μπορούν να χτιστούν πολλά διαφορετικά. Αποσύνδεσε την αλήθεια των γεωμετρικών προτάσεων από τον φυσικό, ή και τον αφηρημένο, κόσμο, και τη σύνδεσε με την αξιωματική αποδοχή αυτού εδώ του συγκεκριμένου καταλόγου προτάσεων. Ακόμη κι αν κάποιος δεν φανταζόταν, μετά τον Ευκλείδη, ότι μπορούν να υπάρξουν διαφορετικές *γεωμετρίες*, ήταν σαφές ότι μπορούν να υπάρξουν ποικίλλα *αξιωματικά συστήματα*. Ο Αρχιμήδης, φερ’ ειπείν, ακριβώς έτσι διατύπωσε τους νόμους της μηχανικής των μοχλών – σαν αξιώματα μέσω των οποίων μπορούν ν’ αποδειχτούν θεωρήματα. Αυτό εννοώ όταν λέω ότι οι ελληνιστικοί μαθηματικοί δημιούργησαν την έννοια του μαθηματικού μοντέλου, κι άπαξ και συλλάβεις αυτή την έννοια, οι εναλλακτικές γεωμετρίες γίνονται τουλάχιστον κατανοήσιμες.

  64. jesus said

    :thumbsup:

  65. mitsos said

    58 Pedis
    Γκλέν ;
    Δεν ξέρω πως προέκυψε το γκλεν (ίσως από τα γκλούονς). Πάντως ετώ είχα στο μυαλό μου τον Sheldon L Glashow
    …. ε και το ήσσονος χρειάζεται δυο σσ αλλά … «άλλα θέλει η χήρα κι αλλά πράττει η χείρα»

  66. Pedis said

    # 60 α – Αν δεν βρεθεί μεταφραστής που να έχει έστω ένα αντιπροσωπευτικό υποσύνολο των ικανοτήτων, των ενδιαφερόντων αλλά και τη γνώση της βιβλιογραφίας που έχει ο Russo, συνεργατικά πρέπει να γίνει η μετάφραση του συγκεκριμένου βιβλίου, αν είναι να γίνει καλή δουλειά και επιμέλεια.

  67. Γιάννης Τζαννέτος said

    Νομίζω ότι εκλείπουν σιγά σιγά οι καθηγητές με μια ΄΄ευρύτερη παιδεία΄΄. Ο Πολύβιος δικαιολογεί την καταστροφή της Κύναιθας από τους Αιτωλούς, γιατί περιφρόνησαν την διδασκαλία της μουσικής. Θα πρόσθετα: στα σχολεία μας σήμερα, δεν μαθαίνουν Μουσική και δεν μαθαίνουν Γεωμετρία !! Ποιες θα είναι οι συνέπειες;
    Τα τελευταία χρόνια φτιάξαμε στη χώρα μας ένα σχολείο δεσμών και κατευθύνσεων, ένα σχολείο ΄΄εγωιστικό΄΄, το οποίο στη πορεία έγινε βαρετό και ανούσιο, το φροντιστήριο εκ των πραγμάτων για ένα τέτοιο σχολείο ήταν καλύτερο. Το σχολείο μας, το πιο σημαντικό, δεν προωθεί την συνεργασία, την έννοια της συλλογικής εργασίας. Κάθε μαθητής (-τρια) πρέπει να επιπλεύσει των άλλων, (΄΄Πρέπει να γράψει καλύτερα από τον φίλο του¨¨ !!).

  68. Αγγελος said

    Δεν τον ήξερα τον Lucio Russo, αλλά βλέπω ότι κατά μερικούς τα παραλέει Πάντως αν επιχειρηθεί μετάφραση των έργων του, ευχαρίστως να συμβάλω κι εγώ 🙂

  69. Pedis said

    # 65 – OK 😀.

    Γιατί συνδέεις του δύο αυτούς ειδικά (ή πρώτα και κύρια, εκτός κι αν δεν κατάλαβα καλά) με τις θεωρίες για τα κουόρκ και τα γλοιόνια-γκλουόνια?

  70. Pedis said

    # 68 – Δες και μόνος σου, αν έχεις κέφι.

  71. Κιγκέρι said

    Γεωμετρίας εγκώμιον άλλου τύπου:

    https://www.huffingtonpost.gr/entry/ta-mestika-piso-apo-to-aristoeryema-toe-rafael-e-schole-ton-athenon_gr_6043a9e3c5b660a0f388c8f5

  72. mitsos said

    @69 Pedis
    Όταν είχα διαβάσει το «Όνειρα για μια Τελική θεωρία» έκλαϊκευτικό του Στ. Γουάϊνμπεργκ είχα την αίσθηση ότι κάποιες διαφωνίες τους για τα ερμηνευτικά σχήματα των μαθηματικών περιγραφών οδήγησαν στην θεωρητική σύλληψη του γλκλούονς ( κολλητηρακίων ).
    Αν πιστεύεις ότι δεν είναι έτσι ( έκανα λάθος τότε ή θυμάμαι λάθος τώρα ) πες το ευθέως . Οι πρώην εκπαιδευτικοί Φυσικής Λυκείων και Γυμνασίων δεν ασχολούμαστε, μετά την σύνταξή μας, με γκλούονς . Μάλλον με ντοματιές και κολοκυθιές ασχολούμαστε… 🙂

  73. mitsos said

    @69 συνέχεια στο 72
    μήπως ήταν με τον Murray Gell-Mann που πέθανε πρόσφατα ;

  74. aerosol said

    Στο Λύκειο κατάλαβα έναν από τους περιορισμούς του μυαλού μου: αν και πρωτοδεσμίτης, η Γεωμετρία με δυσκόλευε, με ξεπερνούσε. Ο νους μου δεν φαινόταν να ταιριάζει εύκολα στον δικό της κώδικα προσέγγισης προβλημάτων -ήθελε ιδιαίτερη δουλειά, κόντρα στη φυσική μου τάση. Έτσι, μου έμεινε θαυμασμός και μια μικρή ζήλεια για αυτούς που έμοιαζαν να κολυμπούν σαν ψάρια στο νερό στην γεωμετρική λογική. Γι αυτό δεν μπορώ να σχολιάσω τίποτα ουσιαστικό από πρακτική και επιστημονική οπτική.

    Όμως δεν μπορώ να παραβλέψω το εξω-μαθηματικό σχόλιο του συγγραφέα, γιατί αυτό το αντιλαμβάνομαι καλύτερα. Η περιγραφή της διάταξης των αριθμών ως αντίστοιχης ενός ιδεολογήματος ιεραρχίας και αυστηρότερης κοινωνικής δομής, σε αντιπαράθεση με την ρευστότητα ή και αναίρεση της σαφούς ιεράρχησης στον χώρο της Γεωμετρίας. Δεν ξέρω αν το όποιο γνωστικό αντικείμενο ενισχύει ή απελευθερώνει από συγκεκριμένους τρόπους σκέψης, κι αν υποσυνείδητα ευνοεί κάποιες κοινωνικές απόψεις εις βάρος άλλων. Μπορεί και να είναι προβολή του ανήσυχου πνεύματος του συγγραφέα αυτό, και όχι βαθύτερο ίδιον της Γεωμετρίας. Πάντως μου λέει κάτι για τον ίδιο τον Βένιο Αποστολόπουλο και το πώς ήταν πρόθυμος να συνδέσει την επιστήμη του με την πολιτική και κοινωνική οπτική του.

  75. aerosol said

    Ω, τι σφάλμα:
    Βένιος Αγγελόπουλος, ασφαλώς, ο συγγραφέας! Με συγχωρείτε.

  76. sarant said

    56-60 Eνδιαφέρουσα περίπτωση. Δεν τον ήξερα. (Βοηθάμε και σε μεταφραστικές απορίες)

  77. ΣΠ said

    43
    Αυτοί που σίγουρα ήξεραν από σφαιρική γεωμετρία ήταν οι αρχιτέκτονες και μηχανικοί της Αγ. Σοφίας. Ο ημισφαιρικός τρούλος στηρίζεται επάνω σε τέσσερα τόξα με την βοήθεια τεσσάρων σφαιρικών τριγώνων (σχ. 31).

  78. Pedis said

    # 72 – Μήτσο, έτσι για την κουβέντα, με αφρορμή το σχόλιό σου. Χωρις παρεξήγηση. Οι δύο αυτοί, όπως και αρκετοί άλλοι μεγάλοι στα χρόνια ’60-’70 ασχολήθηκαν με πρωτοποριακό τρόπο με τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις σε διάφορα ιστορικά στάδια της σχετικής έρευνας, αλλά κι όταν, στην περιγραφή των ισχυρών αλληλεπιδράσεων, εισήχθησαν οι αλληλεπιδράσεις των γκλουονίων (δηλαδή η θεωρία αναβαθμίστηκε σε κβαντική θεωρία πεδίου), αλλά, νομίζω ότι δεν ήταν οι πρωτοπόροι-πρωτοπόροι στο συγκεκριμένο θέμα.

    # 73 – Gell-Mann, ο πατέρας (ο επίσημος και με τη βούλα του νόμπελ) των κουόρκ (α προπό, όπως σε όλες σχεδόν τις μεγάλες ανακαλύψεις και ιδέες στη Φυσική, με εξαίρεση, ίσως, τη Γενική Θεωρία της Σχετικότητας, επειδή οι ανακαλύψεις είναι προϊόν των καιρών, είναι αρκετοί εκείνοι οι οποίοι γονιμοποιούν τη γνώση την ίδια περίοδο …)

    Να και μια ωραία και διασκεδαστική αναλογία, να κάνουμε λίγη πλάκα, μεταξύ μοντελοποίησης στη θεωρητική φυσική και μαγειρικής τέχνης, από ένα από τα paper του Gell-Mann (1964) την εποχή της πρωτοποριακής πρότασης των κουόρκ (-> η φιλοσοφία του φασιανού και του μοσχαριού) λίγα χρόνια πριν βγει στο προσκήνιο η πλήρης και σωστή θεωρία:

    We may, however, go further and ask whether there are additional algebraic relations among the quantities we have introduced. In order to obtain such relations that we may conjecture to be true, we use the method of abstraction from a Lagrangian field theory model. In other words, we construct a mathematical theory of the strongly interacting particles, which may or may not have anything to do with reality, find suitable algebraic relations that hold in the model, postulate their validity, and then throw away the model. We may compare this process to a method sometimes employed in French cuisine: a piece of pheasant meat is cooked between two slices of veal, which are then discarded [10].

    https://s3.cern.ch/inspire-prod-files-4/4942b907c5525fc6d184b6964ca0b428

  79. Δημήτρης Μαρτῖνος said

    Πολὺ μοῦ ἄρεσε τὸ σημερινό, μολονότι δὲν κατάλαβα ἀρκετὰ ἀπὸ τὰ πιὸ ἐξειδικευμένα σημεῖα.

    Πιστεύω πὼς ἡ διαδικασία τῆς ἀπόδειξης στὴ γεωμετρία μὲ βοήθησε στὴ δημιουργία μιᾶς πιὸ δομημένης σκέψης.

    Δὲν μπορῶ, πάντως, νὰ ἀγνοήσω τὸν πολὺ σπουδαῖο ρόλο τοῦ δασκάλου. Στὰ μαθηματικὰ μυήθηκα, ὁπως καὶ πολλοὶ συμμαθητές μου, ἀπὸ τὸν Σωτήρη Ματζάρα. Ὅσοι φοίτησαν στὸ Βαρβάκειο τὴν δεκαετία 65-75 θὰ τὸν θυμοῦνται.

    Ἂς εἶναι αἰώνια ἡ μνήμη του, ὅπως καὶ τοῦ Βένιου.

  80. odinmac said

    @38 Stazybo Horn

    Αγαπητέ μου συγνώμη που σ’ ενόχλησαν τόσο πολύ οι πίνακες (τωρινοί και προηγούμενοι).
    Όχι, δεν θαρρώ ότι κατέχω από τέχνη, αρκετά έργα τα είδα πρώτη φορά την στιγμή που τα ανέβασα εδώ, ψάχνοντας κάθε φορά αυτά τα οποία είχαν κάποια σχέση με το θέμα του ποστ. Με αυτήν την διαδικασία τα πρωτοβλέπω και τα μαθαίνω κι εγώ. Τις 2 προτάσεις τις προσθέτω (η τις κοπυπαστώνω) για να ξέρουμε τι βλέπουμε (στο περίπου), συν τον τίτλο του έργου για όποιον ενδιαφέρεται να το ψάξει. Το παραπάνω από 2 προτάσεις θα ήταν κατάχρηση του χώρου (αν και δεν το απέφυγα σε όλες τις περιπτώσεις).
    Τέλος πάντων επειδη δεν μου αρέσει να ενοχλώ (έφτανε να μου το πεις κάποια στιγμή) το σταματώ εδώ.

  81. ΣΠ said

    Η Αναλυτική Γεωμετρία μας απαλλάσσει από την τυραννία των σχημάτων, όμως δεν καταργεί την χρησιμότητά τους. Ακόμα κι αν περιγράφεις κάτι αλγεβρικά, θέλεις να έχεις εποπτεία αυτού που περιγράφεις. Κατανοούμε καλύτερα μια συνάρτηση σχεδιάζοντας την γραφική παράστασή της. Συνδέουμε την παράγωγο της συνάρτηση με την κλίση της εφαπτόμενης ευθείας. Χρησιμοποιούμε γεωμετρικούς όρους μιλώντας για κυρτές και κοίλες συναρτήσεις. Η Θεωρία του Χάους άρχισε να αναπτύσσεται με την ανάπτυξη των υπολογιστών και των γραφικών τους, όταν είδαμε τις πρώτες εικόνες από την φράκταλ γεωμετρία των παράξενων ελκυστών.

    Πριν από χρόνια είχα παρακολουθήσει μια διάλεξη που ήταν η μια διαφάνεια μετά την άλλη γεμάτες μαθηματικά σύμβολα και εξισώσεις και χωρίς κανένα διάγραμμα. Έκανα φιλότιμη προσπάθεια να καταλάβω τις λεπτομέρειες, αλλά μετά από κάποιο διάστημα τα παράτησα και ενδιαφερόμουν μόνο για τα τελικά αποτελέσματα και την σημασία τους.

  82. Γιώργος Κατσέας, Θεσσαλονίκη said

    @80. Δέν ξέρω τί ἔχει προηγηθῆ (τούς λόγους γιά τούς ὁποίους παρεξηγήθηκες μέ κάποιον/ -ους), ἀλλά ἐγώ θεωρῶ πώς ἡ ἐδῶ παρουσία σου εἶναι καί εὐχάριστη, καί χρήσιμη. Πολύ, μάλιστα! 🙂

  83. Α. Σέρτης said

    82
    Δεν είπε ότι θα την κάνει από το ιστολόγιο, αγαπητέ.
    Είπε ότι θα κόψει την πινακοβολία, καθότι του την πέσανε άσκημα…

  84. Γιώργος Κατσέας, Θεσσαλονίκη said

    Μιά χαρά εἶναι οἱ πίνακές του! Κομίζουν ὀμορφιά καί χρῶμα καί δέν στεροῦν ἀπό κανέναν, χῶρο γιά σχόλια ἤ ὁτιδήποτε ἄλλο..

  85. Παναγιώτης Κ. said

    «Τα πάντα μπορούν να εκφραστούν συνολοθεωρητικά. Τα πάντα μπορούν να εκφραστούν υπό μορφή συναρτήσεων».
    Βένιος
    Ας φανταστούμε έναν φοιτητή Μαθηματικών με πολιτικές ανησυχίες. Είναι πολύ πιθανόν να μελετήσει Μαρξισμό. Όχι μόνο να μελετήσει αλλά να ενθουσιαστεί κιόλας επειδή βρίσκει αντιστοιχίες-συναρτήσεις ανάμεσα στους δυο αυτούς χώρους δηλ. στον χώρο S της Θεωρίας των Συνόλων και τον Μαρξισμό (M)
    Η ιδέα του έχει ως εξής: Αφού υπάρχουν αντιστοιχίες, να δουλέψουμε στον χώρο της Θ.Σ και τα συμπεράσματα που θα προκύψουν να τα αξιοποιήσουμε σε μια μαρξιστική θεωρία.
    f: S–>M μια τέτοια συνάρτηση.
    Τον ενθουσιασμό όμως τον διαδέχεται ο σκεπτικισμός και μονολογεί:
    «Είναι δυνατόν αυτό που διαπίστωσα εγώ, να μη το σκέφτηκαν άλλα μυαλά, ανώτερα από το δικό μου, και να το κάνουν βιβλίο; »
    Τέτοιο όμως βιβλίο δεν υπάρχει και ο φοιτητής μένει με την απορία γιατί να μην υπάρχει ένα μαθηματικό-συνολοθεωρητικό φορμάρισμα του Μαρξισμού.
    Το ερώτημα παραμένει και, μετά από καιρό διαπιστώνει ότι δεν αρκεί γενικώς να υπάρχει μια τέτοια συνάρτηση. Πρέπει να είναι 1-1 και επί (ισομορφισμός) για μπορούμε να δουλεύουμε στο S και τα συμπεράσματα σε αυτό να επάγονται στο Μ.
    Τέτοιος όμως ισομορφισμός δεν υφίσταται μεταξύ των δύο αυτών χώρων οπότε…άνθρακες ο θησαυρός… 🙂

  86. Costas Papathanasiou said

    Καλησπέρα.
    Για έναν διδάσκοντα λοιπόν, «φτάνει αυτό το οποίο λέει να έχει λογική συνοχή»,ώστε έτσι -εν συνεχεία- και ο εκάστοτε μαθητής του «να μπορεί να βάλει το μυαλό του να δουλέψει». Και κατ’ αυτόν τον τρόπο να επαληθεύεται συναμφοτέρως ότι και «η Γεωμετρία (όπως και κάθε άλλη Επιστήμη), σωστά διδαγμένη, ασκεί το μυαλό» διά του οποίου επικυρώνεται και η αυτοκατάταξή μας στο “σοφ-έμφρον” ζωικό υποείδος Homo sapiens sapiens.και μάλλον προσυπογράφεται και το μότο «Όταν το φως χορεύει μιλώ δίκαια».
    Υποδεικνύοντας επιπλέον το πώς. ως φορείς διφυούς δαιμονίου, μορφοκλάσματα εσαεί υποκείμενα σε εγγενή γεωμετρικό μετασχηματισμό, μπορούμε να προ-χωρούμε για φως αληθινό έχοντας βρει ένα βήμα μετρημένο επί Γης , κατά τις οδηγίες και του ποιητή προς τους ναυτιλλομένους του:
    «Χιλιάδες χρόνους περπατάμε. Λέμε τον ουρανό «ουρανό» και τη θάλασσα «θάλασσα». Θ’ αλλάξουν όλα μια μέρα κι εμείς μαζί τους θ’ αλλάξουμε, αλλά η φύση μας ανεπανόρθωτα θα ‘ναι χαραγμένη πάνω στη γεωμετρία που καταφρονέσαμε στον Πλάτωνα. (…)
    Δε θέλω να πω αυτά τα ίδια. Θέλω να πω τις ίδιες φυσικές και αυθόρμητες κινήσεις της ψυχής που γεννούν και διατάσσουν προς ορισμένη κατεύθυνση την ύλη· τις ίδιες αναπάλσεις, τις ίδιες ανατάσεις προς το βαθύτερο νόημα ενός ταπεινού Παραδείσου, που είναι ο αληθινός μας εαυτός, το δίκιο μας, η ελευθερία μας, ο δεύτερος και πραγματικός ηθικός μας ήλιος.».
    Οπότε, και το ηλιακό ρολόι του Βένιου Αγγελόπουλου, φαίνεται τελικά να εγκωμιάζει τον ευκλείδειο κύκλο τής δια βίου διδασκαλίας-μαθήσεώς του, δίνοντας το χωροχρονικό κλειδί για την έμμετρη απόδειξη, ως ηλίου φαεινότερη, αυτού ακριβώς του θεωρήματος:
    Όπου ανθρώπου μυαλοσύνη, πάσα γη και ουράνια κρήνη

  87. sarant said

    Ευχαριστώ για τα νεότερα!

  88. ΕΦΗ - ΕΦΗ said

    Ο απόηχος από το πέρασμα του «Βένιου» (Αγγελόπουλου) που ιδέα δεν είχα ποιος ήταν πίσω από το μικρό του όνομα, από το ιστολόγιο, ήταν ανθρώπου σοβαρού και προσηνούς και σαν έμαθα, κρίμα, ακόμη πιο μεγάλο κρίμα! Αιωνία του η μνήμη του άξιου δασκάλου.
    Τελευταία το 79ο της ηλικίας σα να τραβάει την όρεξη του χάροντα. Τρεις-τέσσερις 79άρηδες μας άφησαν μαζεμένοι αυτές τις μέρες.

    Παράδοξη η περίπτωσή μου, αγαπούσα τη Γεωμετρία, Την καταλάβαινα σαν μάθημα και μου έδινε και ικανοποίηση,όπως και η Στερεομετρία και η Φυσική, ενώ τα υπόλοιπα πρακτικά, Τριγωνομετρία, Άλγεβρα, Χημεία, μου χάλαγαν τον Μ.Ο. 🙂

    Το «γεωμετρικό» που έχω να συνεισφέρω (εκτός από τα τρίγωνα κάλαντα 🙂 ) είναι η υπενθύμιση της (ωραίας) ταινίας
    «Το τετράγωνο»

    ο Σουηδός σκηνοθέτης της οποίας, Ρούμπεν Έστλουντ, πήρε και χθες τον Χρυσό Φοίνικα στις Κάννες με την ταινία «Το τρίγωνο της θλίψης» 🙂
    γυρισμένο στη Χειλιαδού της Εύβοιας
    https://www.athinorama.gr/cinema/3005209/o-xrusos-foinikas-tou-festibal-kanon-sto-trigono-tis-thlipsis-tou-roumpen-estlount/

  89. Ριβαλντίνιο said

    Προβλήματα που δεν λύνονται με την ευκλείδεια γεωμετρία ( δηλαδή με κανόνα και διαβήτη ):

    1) Τετραγωνισμός του κύκλου. Δηλαδή κατασκευή ενός τετραγώνου που έχει το ίδιο εμβαδό με δοθέντα κύκλο.
    2) Τριχοτόμηση μιας τυχαίας γωνίας. Δηλαδή η κατασκευή γωνίας ίσης με το 1/3 δοθείσης γωνίας.
    3) Ο διπλασιασμός του κύβου. Δηλαδή η κατασκευή ενός κύβου που έχει διπλάσιο όγκο από δοθέντα κύβο.

    Όταν ο Πυθαγόρας ανακάλυψε το πυθαγόρειο θεώρημα θυσίασε 100 βόδια. Έτσι το Πυθαγόρειο Θεώρημα λέγεται και Θεώρημα της Εκατόμβης ή Εκατόμβη. Τι έχουν να πουν οι ζωόφιλοι γι’ αυτό ; Κρύβει και η Γεωμετρία πολύ αθώο αίμα από πίσω της !

  90. Χαρούλα said

    #43 Avonidas να είσαι καλά.
    Αν και ακόμη δεν διάβασα τα μετέπειτα σχόλια, νομίζω πως αντιλήφθηκα αρκετά από το σχόλιο σου.
    Ως άσχετη, μου φάνηκαν όλα πολύ δυσνόητα. Βοήθησες (χωρίς τον μανδύα του ειδικού), να καταλάβω σχεδόν ότι ήθελα και μπορούσα!
    Σ´ευχαριστώ

  91. mitsos said

    Όσο το σκέφτομαι, μελετώντας το κείμενο δεύτερη φορά, νομίζω πως πρέπει να προσθέσω κάποιες σκέψεις που εμπλουτίζουν όσα πριν τόνισα μάλλον μονόπλευρα και με επιχειρήματα της αντίθετης θέασης.

    Φαίνεται πως ο καθηγητής Β.Α. έκρυψε κάποιες δεύτερες σκέψεις του, πίσω από την αρχική δήλωση πως γράφει «επειδή του αρέσει η γεωμετρία» και … και πως δεν θα ήθελε να εξαφανιστούν οι «δεινόσαυροι».

    Το 1960 και το 2020 δεν είναι απλά μια μικρή χρονική απόσταση για το χώρο της Εκπαίδευσης. Το 1960 τέλειωναν την 12 χρονη Εκπαίδευση λιγότερο από το 50% των νέων στην Ελλάδα. Και η Γεωμετρία δεν ήταν για όλους.
    Επειδή «Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί γεωμετρίαν» , περισσότεροι από τους μισούς μαθητές του εξατάξιου Γυμνασίου προσπαθούσαν να την αποφύγουν στις τελευταίες τάξεις π.χ. την Γεωμετρία του Κανέλλου .

    Σήμερα υπάρχουν άλλες ανάγκες. Και δεν εννοώ μόνο τις τεράστιες εξελίξεις στον χώρο της πληροφορικής και του Προγραμματισμού ( που και για αυτές δεν υπάρχουν βασιλικές οδοί). Εννοώ και την διεύρυνση του χάσματος ανάμεσα στις θετικές και τεχνολογικές επιστήμες με τις επιστήμες του Ανθρώπου και της Κοινωνίας. Χάσμα που ενώ εκδηλώνεται με τραγικό τρόπο αφού ο ανθρωπος νιώθει – και είναι – ανίκανος να ελέγξει κοινωνικά την κατεύθυνση της ανάπτυξης της τεχνολογίας, συνεχίζει να υποβαθμίζει τις σπουδές και την έρευνα των Ανθρωπιστικών επιστημών και τους θεσμούς του κοινωνικού ελέγχου και πρόνοιας.

    Νομίζω πως για να σκεφτόμαστε «ολιστικά» ( sic ρε ) η υποβάθμιση της Γεωμετρίας όχι μόνο είναι επιβεβλημένη (ως ένα βαθμό ) αλλά είναι η κορφή ενός τεράστιου προβληματικού παγόβουνου που κρύβεται κατά 90%. Και αυτό είναι ότι τα Εκπαιδευτικά συστήματα χρειάζονται επιγόντως έναν εκσυγχρονισμό. Και αυτός ο εκσυγχρονισμός δεν αρκεί να αναμασά διακηρύξεις και οράματα ρομαντικά του Διαφωτισμού αλλά να ανασχηματίσει και να ενσωματώσει τις προϋποθέσεις για να μπορεί ένας νέος να συλλογάται ελεύθερα. Αυτό που για τους «δεινόσαυρους του 70» ήταν «Εγκύκλιος Παιδεία» σήμερα είναι ξεπερασμένο και ανεφάρμοστο …

    Δυστυχώς ίσως οι αναγκαίες ριζοσπαστικές μταρρυθμίσεις στην Εκπαίδευση δεν μπορούν να ξεκινούν από λεπτομέρειες όπως οι Γεωμετρικές Δεξιότητες. Ίσως, ακόμη χερότερα, το πρόβλημα δεν είναι εωτερικό του εκπαιδευτικού συστήματος αλλά αντανάκλαση κοινωνικών διαστρεβλώσεων που μάλλον απαιτούν (όπως και οι πόλεμοι και οι πανδημίες και η κλιματική καταστροφή) μεγάλες ανατροπές και θυσίες …

  92. Eva Matenoglou said

    Τι ωραίο άρθρο! Και τι υπέροχος δάσκαλος! (δεν τον γνώριζα)

    Τον ζηλεύω γιατί έχει το βασικότερο, κατά τη γνώμη μου, προσόν για έναν αληθινό δάσκαλο: την εποπτεία, τη δυνατότητα να επεκτείνει τις κατακτήσεις του γνωστικού του πεδίου σε άλλες περιοχές της ανθρώπινης δράσης και να κάνει συνδέσεις και αναγωγές που δίνουν νόημα στην πραγματικότητα (όσο χαοτική κι αν φαίνεται) – και επομένως στη διδασκαλία που επιδιώκει να μας εξοικειώσει με αυτήν… Και μας θυμίζει (μου φαίνεται ότι είδα και στα υπόλοιπα σχόλια πόσο απογοητευτικός και άγονος αποδεικνύεται ο κατακερματισμός της γνώσης) τη γοητευτική θεωρία του Giorgio Agamben (και του Aby Warburg, στην ουσία) για τη «nameless science»… Σε αυτό, άλλωστε, δεν παραπέμπει και η ποιητική κατακλείδα του σχολίου 86;
    74.
    Γι’ αυτό μου άρεσε κι εμένα το εξω- μαθηματικό σχόλιο, Aerosol, όπως και κάθε τι που είναι και «έξω» από μια επιστήμη, χωρίς να «πειθαρχεί» μόνο μέσα στα στενά της όρια (αν και σίγουρα πειθαρχεί στις αρχές της).

  93. gbaloglou said

    Φίλος μαθηματικός που είχε ζήσει και σπουδάσει στο Παρίσι μου μετέφερε κάποτε τι έλεγαν για τον εκλιπόντα: «όποιο πρόβλημα του δώσεις το μετατρέπει σε γεωμετρικό και το επιλύει»!

  94. Νέο Kid said

    89. Ανακριβές , αν και κυκλοφορεί εβραίος (ή μήπως Παλαιστίνιος;) στο ιντερνέτι , και μάλλον απίθανο καθότι ο Πυθαγόρας ήτο χορτοφάγος.
    Μάλλον παρετυμοθυσία απ αυτό που λέει ο Διογένης Λαέρτιος για το Θαλή. Ο Θαλής θυσίασε ένα βόδι όταν απέδειξε ότι κάθε γωνία που βαίνει σε διάμετρο κύκλου είναι ορθή .

  95. Νέο Kid said

    Τα Μαθηματικά δεν είναι επιστήμη. Η επιστήμη δεν αποδεικνύει αληθινές αξίες, απλά καταρρίπτει ψευδείς.

  96. Νέο Kid said

    Και λίγο μαθηματικό σεξ …( μην είμαστε και πουριτανοί)

    HOW DO THEY DO IT

    Algebraic geometers do it for variety.
    Algebraists do it in fields.
    Algebraists do it in groups.
    Analysts do it continuously.
    Analysts do it smoothly.
    Applied mathematicians do it by computer simulation.
    AI researchers have tried to do it since the 60’s but haven’t yet succeeded.
    Astrophysicists do it in the dark.
    Bankers do it with interest. Penalty for early withdrawal.
    Bayesians do it conditionally.
    C++ programmers do it with class.
    C++ programmers do it with private members and public objects.
    Chemists do it periodically on table.
    Classical geometers do it on a plane.
    Combinatorialists do it discretely.
    Combinatorialists do it as many ways as they can.
    Commutative algebraists do it regularly.
    Complex analysts do it between the sheets.
    Complex analysts do it under a universal cover.
    Computer scientists do it by brute force.
    Computer scientists do it depth first.
    Computer scientists do it with objects.
    Computer scientists do it in their classes.
    Cosmologists do it in the first three minutes.
    Cryptographers do it securely.
    Cryptographers do it with zero-knowledge.
    Cryptographers do it secretly.
    Fermat tried to do it in the margin, but couldn’t fit it in.
    Functional analysts do it with compact support.
    Geometers do it at different angles.
    Group theorists do it simply.
    Heisenberg might have slept here.
    Large cardinals do it inaccessibly.
    Linear programmers do it with nearest neighbors.
    Logicians do it incompletely or inconsistently.
    (Logicians do it) or [not (logicians do it)].
    Markov does it in chains.
    Mathematical physicists understand the theory of how to do it, but have difficulty obtaining practical results.
    Mathematicians have to prove they did it.
    Mathematicians do not do it. They leave it as an exercise to the reader.
    Measure theorists do it almost everywhere.
    Moebius always does it on the same side.
    Newton did it standing on the shoulders of giants.
    Probabilists do it on random walks.
    Pure mathematicians do it rigorously.
    Real analysts do it for real.
    Statisticians probably do it.
    Statisticians would like to do it with the population, but only get a small sample.
    Topologists do it with a cup, that is, with a doughnut.
    Turing did it but couldn’t decide if he’d finished.

  97. ΜΙΚ_ΙΟΣ said

    Καταπληκτικό κείμενο! (σε μερικά σημεία του δυσνόητο για μένα, που δεν έχω πλήρη εικόνα της σημερινής εξέλιξης των μαθηματικών…)

    Σε ένα από τα συμπεράσματα θα σταθώ:
    «Επομένως και σήμερα στην κοινωνική παραγωγή η Γεωμετρία είναι απαραίτητη. Παρόλο, δηλαδή, που ορισμένες τεχνικές της Γεωμετρίας έχουν υποχωρήσει, ο χειρισμός – η χαλιναγώγηση θάλεγα – του χώρου, των σχημάτων, των κινήσεων, είναι βασικό γνώρισμα της σημερινής τεχνολογίας, είναι βασικό γνώρισμα της σημερινής κοινωνικής παραγωγής.»
    Με κάποιες απλές σκέψεις:
    Αν εξαιρέσουμε τους Μαθηματικούς και μερικούς Φυσικούς και Μηχανικούς, για όλους τους υπόλοιπους (συντριπτική πλειονότητα) η υποχώρηση της διδασκαλίας της Ευκλείδειας Επιπεδομετρίας και η σχεδόν ολοκληρωτική κατάργηση της Στερεομετρίας στη Β/θμια Εκπαίδευση, εκτιμώ ότι έχει επιφέρει σημαντικές αλλαγές στην απόκτηση άμεσης καθημερινής εμπειρίας –άρα και αντιμετώπισης- σε μια σειρά τομείς, όπως (ενδεικτικά):
    – Μείωση της αντίληψης στοιχειωδών μεγεθών (επιφανειών, όγκων κ.λπ.)
    – Αδυναμία στη σχεδίαση σχημάτων/σκαριφημάτων, ειδικά τρισδιάστατων. (βλ. και #81-ΣΠ)
    – Δυσκολία στη διατύπωση σκέψεων, επιχειρημάτων/αντεπιχειρημάτων, στην αποφυγή αυθαιρεσιών και αντιφάσεων κ.λπ. (Τα λέει καλύτερα ο Mitsos #55-2β)

    33, Pedis
    Επειδή κι εγώ είμαι από τους ‘ρομαντικούς της Γεωμετρίας’, είχα βρει το μπλογκ που αναφέρεις. Λειτουργεί εδώ:
    https://parmenides52.blogspot.com/p/apanta_76.html

  98. Avonidas said

    Και λίγο μαθηματικό σεξ …( μην είμαστε και πουριτανοί)

    Κι όσο για τους φυσικούς… έχετε ακουστά την αρχή της ελάχιστης δράσης; 😉

  99. ΣτοΔγιαλοΧτηνος said

    Η αλήθεια είναι παληκάρια πως δε σας βλέπω και πολύ παραγωγικούς. Εκατό σχόλια με το ζόρι. Για τόσο μεγάλη συγκέντρωση θετικάριων, το αποτέλεσμα καθώς προχωρεί η νυξ είναι απογοητευτικό. Για δώστε λίγο στημ 🙂

  100. aerosol said

    #38
    Στάζυ, νομίζω πως σ’ αυτή την περίπτωση φάνηκες υπερβολικά αυστηρός.

    #61
    Πράγματι, ο Odin φέρθηκε ως κύριος, και μου αρέσει να βλέπω τους πίνακες που ανακαλύπτει.
    Αλλά αυτά τα ρεμάλια που όλο καυγαδίζουν για τους κιθαρίστες, κάποιος πρέπει να τα μαζέψει!

    #80
    Αν μετράει, θα τονίσω πως σε άλλους (και σε μένα) δίνουν χαρά. Κι αν τυχόν το εμβαδό τους είναι μεγαλούτσικο για τα σχόλια (ή κριθεί πως βαραίνει, που προσωπικά δεν το βλέπω) υπάρχει και τρόπος να μπαίνουν μικρότεροι, με ένα πειραγματάκι του λινκ.

  101. Avonidas said

    Η αλήθεια είναι παληκάρια πως δε σας βλέπω και πολύ παραγωγικούς

    Εγώ Χτηνε μου πήζω dans l’ aeroport d’ Amsterdam, παρέα με τον Χαμηλ Μπαταρ. Και τόσο που γράφω πολύ είναι 🙄

  102. Ριβαλντίνιο said

    Ξέρει κάποιος την φρασούλα που έλεγαν για τον γεωλόγο , τον μηχανικό και τον εργοδηγό ; Δεν μπορώ να την θυμηθώ καλά.

  103. Νέο Kid said

    101. Αν κοιτάξεις δεξιά σου , έχει charging station!

  104. ΣτοΔγιαλοΧτηνος said

    101# Εσύ εξαιρείσαι, είσαι οδοιπόρος, ελπίζω να μην είσαι και ασθενής. Καλό δρόμο να έχεις 🙂

  105. sarant said

    93 Καλό!

    101 🙂

  106. sxoliastis2020 said

    «…για ποιό λόγο θα τοποθετηθώ υπέρ της Γεωμετρίας. Πρώτα – πρώτα γιατί μ’ αρέσει η Γεωμετρία.»!

    Κι εγώ ανήκω σε αυτή την κατηγορία και με αφορμή το άρθρο αυτό θυμήθηκα ένα βιβλίο, με το οποίο πέρασα πολλές γοητευτικές ώρες στα νιάτα μου. Πρόκειται για το «Μέθοδοι επιλύσεως γεωμετρικών προβλημάτων» του Αρίστου Δημητρίου.
    Για όσους ενδιαφέρονται υπάρχει εδώ:
    https://drive.google.com/file/d/0B9uh0VymSVrpdkxjVGlRVDhCT00/edit?resourcekey=0-VT3Y_5R0R7aKTrk_b47UVQ

  107. ΣΠ said

    Να βάλω ένα γεωμετρικό προβληματάκι που δεν χρειάζεται μαθηματικές γνώσεις. Έχουμε δύο κύκλους που εφάπτονται, είτε εξωτερικά είτε εσωτερικά.

    Ας υποθέσουμε ότι η ακτίνα του μεγάλου κύκλου είναι τριπλάσια της ακτίνας του μικρού. Αν ο μικρός κύκλος κινηθεί σαν μια ρόδα πάνω στην περιφέρεια του μεγάλου κύκλου
    α. εξωτερικά
    β. εσωτερικά
    και επανέλθει στην αρχική του θέση, πόσες περιστροφές θα κάνει;

  108. mitsos said

    107
    Εξωτερικά 3+1=4
    Εσωτερικά 3-1=2

    θες και εξήγηση ;

  109. ΣΠ said

    108
    Τρίτη περίπτωση. Αν ο μικρός κύκλος κινείται κάθετα στο επίπεδο του μεγάλου κύκλου;

    Αν αντί για τον μεγάλο κύκλο, έχουμε τετράγωνο με περίμετρο τριπλάσια της περιφέρειας του μικρού κύκλου;

  110. mitsos said

    @109
    Την τρίτη περίπτωση δεν την καταλαβαίνω κυλά πάνω σεποια τροχιά ; Εννοείς απλά να κάνει μια περιστροφή γύρω από το σημείο επαφής ;

    Για το τελευταίο με το τετράγωνο δεν υπάρχει διαφορά βάλε όποιο πολυγωνο θέλεις αρκεί να μην υπάρχει ολίσθηση η απώλεια επαφής.

  111. Νίκος Κ. said

    Η γεωμετρία ήταν από τα αγαπημένα μου μαθήματα. Ισχύει όμως και για αυτήν το ίδιο ερώτημα που ισχύει για όλα τα μαθήματα: Πόση εξειδίκευση και αυστηρότητα είναι αποδεκτή για ένα μαθητή γυμνασίου ή λυκείου; Και από πού και μετά θα πρέπει να θεωρήσουμε ότι ο καθηγητής (ή το εκπαίδευτικό σύστημα) «ξεσπάει» πάνω στον μαθητή; Και όχι μόνο παύει να του ανοίγει ορίζοντες αλλά προσπαθεί να τον πείσει ότι είναι και «μειονεκτικός» (απέναντι στις πάσης φύσεως αυθεντίες, βεβαίως, βεβαίως)

  112. ΣΠ said

    110
    Οι δύο κύκλοι είναι σε διαφορετικά επίπεδα. Ας πούμε ότι ζωγραφίζεις έναν κύκλο στο έδαφος και κυλάς πάνω στην περιφέρειά του μια ρόδα κάθετα στο έδαφος (δηλαδή όχι ξαπλωμένη).

  113. sarant said

    106 Μπράβο!

  114. Pedis said

    # 106 – Προχωρημένο. Του λόγου μου μέχρι Τόγκα έφτασα. Μου ‘λεγαν οι μαθηματικοί σε φροντιστήριο και σχολείο «Τι τα θες αυτά και χάνεις το χρόνο σου, αφού δεν είναι στις πανελλαδικές …» ()

    Για όποιον έχει όρεξη και χρόνο (και αρκετοί θα θυμηθούν τα νιάτα τους😆), εδώ:

    Για τους ρομαντικούς της Γεωμετρίας

    https://parmenides52.blogspot.com/p/apanta_76.html

    —-

    Πριν από κάνα δυο χρόνια είχε πέσει στα χέρια μου (κι έκανε κάνα μήνα να φύγει … διασκεδαστικό και πολύ-πολύ ενδιαφέρον) το βιβλίο του Heilbron:

  115. mitsos said

    @112
    α μάλιστα
    στην περίπτωση αυτή έχουμε κύλιση 3 στροφών περι άξονα οριζόντιου και μια περίφορα του άξονα γύρω από τον κατακόρυφο στο κέντρο του μεγάλου κύκλου… όπως στα αλώνια Και η μπάλα στο μπάσκετ κάνει κάποτε rip…

  116. ΣΠ said

    115
    Και σκέφτηκα τώρα να το γενικεύαμε και ο μικρός κύκλος να κινείται υπό κλίση πάνω στον μεγάλο κύκλο, σαν την ρόδα ποδηλάτου που κινείται κυκλικά. Υποθέτω ότι παίζει ρόλο το συνημίτονο της γωνίας κλίσης. Θα το δω αύριο. Τώρα νυστάζω.

  117. Γιώργος Κατσέας, Θεσσαλονίκη said

    Γεωμετρία καί Φυσική, καί νά κατασυγκινεῖσαι μέ κάποια παιδιά πού ματώνουν…

    https://www.kathimerini.gr/society/561882742/o-agonas-enos-idiofyoys-foititi-na-spoydasei/

  118. Νέο Kid said

    Για να συγκινήσω το Δύτη και άλλους τυχόν περσαραβομανείς…, το πρόβλημα του Σταύρου λεγεται στη βαρβαρική «Tusi couples» απ τον Νάσερ Αλ Ντιν Αλ Τούσι ,Πέρση (ή Πρόπερση;) μαθηματικό και αστρονόμο που τουάρεσε να σχολιάζει την Αλμαγέστη του Πτόλεμιου…

  119. Νέο Kid said

    Στο συγκεκριμένο τούσι κάπλ (σαν ταινία με τον Τομ Χανκς ακούγεται…) του Αλ Τούσι (εικόνα 118.) ο εσωτερικός κύκλος κάνει 1 (μία) περιστροφή ,κι αυτό που γράφει με τα αράπικα ορνιθοσκαλίσματα είναι (υποθέτω) ότι κάθε σημείο της περιφέρειας «γράφει¨με την κίνσή του ευθεία και δή διάμετρο του μεγάλου κύκλου.

  120. Αμ κάτι μου θύμιζαν αυτοί οι επίκυκλοι! Ο Τουσί αν θυμάμαι καλά τους επινόησε προσπαθώντας να ομαλοποιήσει το γεωκεντρικό μοντέλο της τροχιάς του Ερμή.

  121. sarant said

    118 Κοίτα να δεις!

  122. Νέο Kid said

    120. Σωστά θυμάσαι! Όχι ακριβώς «επίκυκλοι», αλλά «υποκυκλοειδείς». Εδώ τα λέει πολύ ωραία κι αναλυτικά ο Δημήτρης Τσοκάκης:
    http://dimitristsokakis.blogspot.com/2013/09/blog-post.html

  123. gbaloglou said

    122, 93 Μία πολύ σύγχρονη άποψη για την γεωμετρία στην υπηρεσία της άλγεβρας (αριθμητικής) επί Πρόκλου κ.α. εδώ 🙂

  124. ΜΙΚ_ΙΟΣ said

    114, Pedis
    Κι εγώ που βιάστηκα να σε …ξε-μπλογκάρω! 🙂 🙂 ->97

  125. Pedis said

    # 124 – Μπράβο και σόρρυ που δεν πρόσεξα ότι το είχες ήδη ποσταρει. Τέτοια λινκ πρέπει να διαδίδονται. Είναι σίγουρα χρησιμοτατα στις σπάνιες εκείνες περιπτώσεις μαθητών, οι οποίοι μπορεί να ενδιαφέρονται να μελετήσουν εξωσχολικά θέματα.😀

  126. dimopal said

    Μια πολύ γλυκιά διπλωματική . Όχι δικιά μου.

    Click to access GRI-2017-18647.pdf

    Οι πίνακες είναι όλα τα λεφτά. ODINMAC μη μασάς.

  127. Μενέλαος said

    Καλησπέρα σας. Επιτρέψτε μου να κάνω εγώ το σωστό μνημόσυνο στον Μεγάλο Βένιο Αγγελόπουλο. Δεν τόλμησε να το κάνει ο κ. Σαραντάκος, για να μή θιγούν κάποιοι σεσημασμένοι χριστιανομπολσεβίκοι σχολιασταί του παρόντος ιστολογίου. Θα είμαι επιγραμματικός:

    1) Ο Βένιος υπήρξε μέγας ελληνολάτρης και φανατικός εχθρός του Χριστιανισμού. Αυτό φαίνεται και από την εκπληκτική φράση του στο παρόν εξαίρετο άρθρο του περί Γεωμετρίας, όπου υπαινισσεται ότι οι βρωμεροί Γαλιλαίοι κατέκαψαν τα συγγράμματα του Αριστάρχου Σαμίου, επειδής κατέρριπταν τις αρλούμπες της Αγίας Γραφής!..

    Ρωτάει στο παρόν άρθρο ο ΒΕΝΙΟΣ: «…κατά τύχη(;) κάηκαν τα γραπτά του Αρίσταρχου του Σάμιου, ο οποίος το είχε διατυπώσει – αλλά αυτό είναι μια άλλη ιστορία.»

    2) Η ελληνολατρία του Βένιου κάνει «μπάμ» από μακρυά: Έδωσε στον μοναχογιό του, γνωστό εικονογράφο Αδριανό Αγγελόπουλο, το όνομα του πιό ελληνολάτρη Ρωμαίου Αυτοκράτορος, που μισούν θανάσιμα οι Γαλιλαίοι για τον εξής λόγο: Μεταξύ άλλων, ο Αυτοκράτωρ Αδριανός μετέτρεψε σε Ναούς της Αφροδίτης και του Έρωτος, τον Γολγοθά, τον Πανάγιο Τάφο και τον δεύτερο Ναό του Σολομώντος στην Ιερουσαλήμ, ΄προκειμένου να τιμάται το «βινείν» (σ.σ.: το γαμήσι στα ρωμέικα) και όχι ο Γιαχβέ.

    Ιδού γιατί ο πολύ ψαγμένος χριστιανός λόγιος κ. Blogotinanai αρνήθηκε να σχολιάσει στο παρόν νήμα, ενώ ο παραγιός του, το αγνό χριστιανόπουλο ο Ριβαλντίνιο, ΑΕΡΟΛΟΓΕΙ στα σχόλια 89 + 102, για να μήν αναγκαστεί να απαντήσει στην σαφή κατηγορία του Βένιου ότι οι Γαλιλαίοι ΕΚΑΨΑΝ τα συγγράμματα του Αριστάρχου Σαμίου για να μή καταλάβουν τα χριστιανικά πρόβατα ότι ο Θεός της Αγίας Γραφής είναι παντελώς αγεωμέτρητος…

    3) Ο κ. Σαραντάκος αποσιωπά εντελώς το τελευταίο (Δεκέμβριος 2019) βιβλίο του Βένιου Αγγελόπουλου «Αλφαβητάρι για μεγάλους» (εκδόσεις «Άπαρσις») για έναν πολύ απλό λόγο: Τα όσα γράφει εκεί ο μακαριστός Βένιος είναι κόλαφος για τους δικαιωματάκηδες που τόσο συμπαθεί ο αγαπητός μας κύριος Νίκος. Παραθέτω την γνώμη του για την Πολιτική Ορθότητα (σελίς 35)

    ΒΕΝΙΟΣ ΑΓΓΕΛΟΠΟΥΛΟΣ: «Το πολιτικά ορθό δεν είναι παρά μια εκλεπτυσμένη μορφή τυραννίας»!..

    Στο ίδιο βιβλίο (βλέπε κεφάλαιο «Περί Ηθικής, ακροθιγώς και αδιαλείπτως»), ανελέητη είναι η κριτική του Βένιου στον ασυνάρτητο λόγο των αριστερών διανοουμένων. Μιλάμε για κείμενα – καταπέλτη, που ουδέποτε θα επέτρεπε να δημοσιευτούν στο παρόν μπολσεβίκικο ιστολόγιο ο κ. Σαραντάκος

    4) Θα τελειώσω με κάτι που ελάχιστοι θυμούνται. Ο αλησμόνητος Βένιος, με τα ενθαδε σχόλιά του, αρκετές φορές είχε ασκήσει ΣΚΛΗΡΗ κριτική στα λάθη και στις γκάφες του κ. Σαραντάκου, χωρίς ποτέ να εισακουσθεί από τον γνωστό για τον εγωτισμό του, κύριο Νίκο (εδώ που τα λέμε, πάλι καλά που δεν απέβαλε τον Βένιο με κατευθείαν κόκκινη κάρτα, όπως επανειλημμένως έχει κάνει με άλλους επιφανείς σχολιαστάς…)

    Για παράδειγμα, την 1η Δεκέμβρη του σωτηρίου έτους 2020, ο Βένιος είχε γράψει το παρακάτω εκπληκτικό σχόλιο:

    Εννοείται ότι ο κύριος Νίκος όχι μόνο δεν φιλοτιμήθηκε να διορθώσει τα λάθη που του επεσήμανε ο αξέχαστος Βένιος, αλλά και έβαλε τον σφουγγοκωλάριό του σχολιαστή Spiridione να αντεπιτεθεί (σχόλιο 72) στον Βένιο για κάποια ανύπαρκτη γκάφα του!..

    ΗΘΙΚΟΝ ΔΙΔΑΓΜΑ: Αυτή είναι η ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ Ιστορία του παρόντος ιστολογίου που ελάχιστοι γνωρίζουν, αλλ’ ουδείς τολμά να ξεστομίσει δημοσίως, διά τον φόβον της απευθείας κόκκινης. Το κάποτε ξακουστό Σαραντάκειο Ιστολόγιο, που κάποτε ανέδειξε έναν Γιάννη Ιατρού, έναν Γς, έναν Blogotinanai κι έναν νεαρό Ριβαλντίνιο, εν έτει σωτηρίω 2022 έχει βυθιστεί στα τάρταρα της ανυποληψίας και μάλλον δεν πρόκειται ποτέ να σηκώσει κεφάλι…

  128. sarant said

    127 Καλώς τον Μενέλαο. Μπαν!

    (Στο προκείμενο, ο ίδιος ο Βένιος έγραψε μετά «επεσα θύμα του νόμου του Μέφρι», διότι βέβαια το Δεκαήμερο έχει επίσης αποκληθεί Ανθρώπινη Κωμωδία).

  129. Μαρία said

    128
    Έχεις καταργήσει την προέγκριση; Πώς περνάνε αυτά τα σκουπίδια;

  130. sarant said

    129 Όχι. Ο λεγάμενος πολλές φορές ξεκινάει με ένα αθώο σχόλιο που εγκρίνεται και μετά περιμενει.

    Ο προκείμενος Μενέλαος έκανε σχόλιο στις 10 Μαΐου:

    Είναι βέβαιο ότι δεν υπάρχει στίχος του Σολωμού «ξηρόν δε θα ειν΄ το μέλλον», ούτε στα αποσπάσματα, ούτε πουθενά. Προφανώς έγινε μπέρδεμα με την 61η στροφή του “Εις τον θάνατον του Λόρδ Μπάιρον” που μιλάει για αργό μέλλον, όχι για ξηρό:

    «Πλανημένη η φαντασιά του
    μες στο μέλλον το αργό,
    που προσμένει τ’ όνομά του
    να το κάμει πλέον λαμπρό,»

    Αυτό εγκρίθηκε,

    Και σήμερα εξέμεσε.

Σχολιάστε

Εισάγετε τα παρακάτω στοιχεία ή επιλέξτε ένα εικονίδιο για να συνδεθείτε:

Λογότυπο WordPress.com

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό WordPress.com. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Twitter

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Twitter. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Φωτογραφία Facebook

Σχολιάζετε χρησιμοποιώντας τον λογαριασμό Facebook. Αποσύνδεση /  Αλλαγή )

Σύνδεση με %s

 
Αρέσει σε %d bloggers: